Prubas de bondad y ajuste

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RUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Una hipótesis estadística se definió como una afirmación o conjetura acerca de la distribución f(x,q) de una o más variables aleatorias. Igualmente se planteó que la distribución podía tener uno o más parámetros desconocidos, que denotamos por q y que la hipótesis se relaciona con este parámetro o conjunto de parámetros En otros casos, se desconoce por completo laforma de la distribución y la hipótesis entonces se relaciona con una distribución específica f(x,q) que podamos asignarle al conjunto de datos de la muestra. Ahora examinaremos el problema de verificar si el conjunto de datos se puede ajustar o afirmar que proviene de una determinada distribución. Las pruebas estadísticas que tratan este problema reciben el nombre general de “Pruebas de Bondad deAjuste”.
Se analizarán tres pruebas básicas que pueden aplicarse: La prueba Chi – Cuadrado, la prueba de Smirnov-Kolmogorov y la prueba de Anderson-Darling. La prueba Chi-Cuadrada se emplea tanto para distribuciones continuas como para discretas, mientras que la de Kolmogorov-Smirnov como la de Anderson Darling se emplean sólo para distribuciones continuas. Estas pruebas caen en la categoría de loque en estadística se denominan pruebas de “Bondad de Ajuste” y miden, como el nombre lo indica, el grado de ajuste que existe entre la distribución obtenida a partir de la muestra y la distribución teórica que se supone debe seguir esa muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre la distribución muestral y la teórica. Ambas pruebas estánbasadas en las siguientes hipótesis:
H0: f(x,q) = f0(x,q)
H1: f(x,q) ¹ f0(x,q)
donde f0(x,q) es la distribución que se supone sigue la muestra aleatoria. La hipótesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta. Si se desea examinar otra distribución específica, deberá realizarse de nuevo la otra prueba suponiendo que la hipótesis nula es esta nuevadistribución. Al especificar la hipótesis nula, el conjunto de parámetros definidos por q puede ser conocido o desconocido. En caso de que los parámetros sean desconocidos, es necesario estimarlos mediante alguno de los métodos de estimación analizados con anterioridad.
Para formular la hipótesis nula deberán tenerse en cuenta los siguientes aspectos o criterios:
a) La naturaleza de los datos aanalizar. Por ejemplo, si tratamos de investigar la distribución que siguen los tiempos de falla de unos componentes, podríamos pensar en una distribución exponencial, o una distribución gama o una distribución Weibull, pero en principio no consideraríamos una distribución normal. Si estamos analizando los caudales de un río en un determinado sitio, podríamos pensar en una distribución logarítmicanormal, pero no en una distribución normal.
b) Histograma. La forma que tome el histograma de frecuencia es quizás la mejor indicación del tipo de distribución a considerar.
Prueba de Smirnov - Kolmogorov (S-K)
En esta prueba también se está interesado en el grado de concordancia entre la distribución de frecuencia muestral y la distribución de frecuencia teórica, bajo la hipótesis nula de que ladistribución de la muestra es f0(x,q) e interesa probar que no existe diferencia significativa. La prueba trabaja con la función de distribución ( distribución de frecuencia acumulativa). Esta prueba pertenece al campo de la Estadística No Paramétrica.
Sea F0(x) la función de distribución teórica para la variable aleatoria X, y representa la probabilidad de que la variable aleatoria X tome unvalor menor o igual a x (también
se interpreta como la proporción esperada de observaciones que tengan un valor menor o igual a x). Es decir:

Sea Sn (x) la función de distribución empírica, calculada con base en los valores observados de la muestra n observaciones. Sn (x) representa la proporción de valores observados que son menores o iguales a x, y está definida como:
Sn (x) = P ( X £ x/...
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