Prueba De Komogorov-Smirnov

PRUEBA DE KOLMOGOROV – SMIRNOV


La prueba de Kolmogorov – Smirnov (también prueba K-S), bautizada así en honor de los estadísticos A. N. Kolmogorov y N. V. Smirnov quienes la desarrollaron, se trata de un método no paramétrico sencillo para probar si existe una diferencia significativa entre una distribución de frecuencia observada y otra frecuencia teórica. La prueba K – S es, porconsiguiente, otra medida de la bondad de ajuste de una distribución de frecuencia teórica, como lo es la prueba X2. Sin embargo, la prueba K – S tiene varias ventajas sobre la X2 es una prueba más poderosa, y es más fácil de utilizar, puesto que no requiere que los datos se agrupen de alguna manera.

Se llama prueba no paramétrica porque su distribución no puede ser definida a priori, pues son losdatos observados los que la determinan. La utilización de este tipo de métodos se hace recomendable cuando no se puede asumir que los datos se ajusten a una distribución conocida, cuando el nivel de medida empleado no sea, como mínimo, de intervalo.

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definidosobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria. Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada realx es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.


La distribución Normal suele conocerse como la "Campana de Gauss".


Una ventaja especial de la estadística K – S, Dn, es particularmente útil para juzgar qué tan cerca está la distribución de frecuencia observada de la distribución de frecuencia esperada, porque la distribución de probabilidad de Dn depende deltamaño de la muestra n, pero es independiente de la distribución de frecuencia esperada (Dn es una estadística de “distribución libre”)


DESCRIPCIÓN DE LA PRUEBA

Las pruebas de bondad de ajuste permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta. En particular la prueba Kolmogorov – Smirnov es aplicable para variables aleatoriascontinuas. Es de especial interés para muestras pequeñas en las cuales por no estar los datos agrupados no es factible aplicar la Prueba de Bondad de Ajuste X2-cuadrado.

Sea X: variable aleatoria poblacional
f0(x) la distribución (o densidad) de probabilidad especificada o supuesta para X

Se desea probar la hipótesis:

HO: f(x) = f0(x)

En contraste con la hipótesis alterna:HA: f(x)  f0(x) (negación de Ho)

Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con una distribución especificada f0(x) que es de interés verificar:

x1, x2, ...,xn

Las observaciones se las coloca ordenadas en forma creciente:
x(1), x(2), ... ,x(n)



Se define la función de distribución acumulada empírica:



Sea F0(x): Función de distribución acumulada delmodelo propuesto f0(x)
F0(x) = P(Xx)

Definición: Estadístico de prueba K-S (Kolmogorov-Smirnov).

Dn = max |Sn(xi) – F0(xi)| , i=1, 2, ..., n

Sea : nivel de significancia para la prueba

Definición: Región de rechazo de Ho en favor de Ha.

Dn > D (valor crítico tabulado en la Tabla K-S)

La distribución de los datos Fn para n observaciones yi se define como:



Parados colas el estadístico viene dado por:





Donde F(x) es la distribución presentada como hipótesis.

En esta prueba también se está interesado en el grado de concordancia entre la distribución de frecuencia muestral y la distribución de frecuencia teórica, bajo la hipótesis nula de que la distribución de la muestra es Fo(x,q) e interesa probar que no existe diferencia significativa....