Prueba de Matematicas

Universidad Andr´s Bello
e
Departamento de Matem´ticas
a

´
MATEMATICAS GENERALES- FMM 003
1er Semestre, 2009

PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNE
Mi´rcoles 08 de Abril de 2009
e
1. Eval´e lasiguiente expresi´n para a = −2; b = −1; c = 1:
u
o
a2 − b2
2a + 5b
a2 − c2
+
+
a2 + ab + b2
2b − c
a + 2b + c

Sol:
Evaluando la expresi´n, se tiene:
o
2 · −2 + 5 · −1
(−2)2 − 12
4 − 1−9 4 − 1
(−2)2 − (−1)2
+
+
=
+
+
(−2)2 + 2 + (−1)2
2 · −1 − 1
−2 + 2 · −1 + 1
7
−3
−3
=

3
3
17
+3−1= +2=
7
7
7
1.5 Ptos

2. En la fabricaci´n de p´lvora para romper rocas, elcarb´n y el salitre est´n en la raz´n de 16:5 y
o
o
o
a
o
el salitre con el azufre est´n en la raz´n de 10:3 ¿Cu´ntos kilogramos de carb´n, salitre y de azufre
a
o
a
o
entrar´n en 5940 kg,de p´lvora?
a
o
Sol:
Sean C, S y A, las cantidades de carb´n, salitre y azufre. Por tanto se puede establecer que C =
o
S
16 S
10
; A = 3 ; C + A + S = 5940. De las proporciones se estableceque C = 16S ; A = 3S . Sustituyendo
5
5
10
en la suma:
16S 3S
+
+ S = 5940 / · 10 ⇔ 32S + 3S + 10S = 59400 ⇒ S = 1320
5
10
Luego; A = 396; C = 4224.
1.5 Ptos
3. Simplifique al m´ximo lasiguiente expresi´n:
a
o
1 + a2 1 − a2
−
1 − a2 1 + a2

:

1+a 1−a
−
1−a 1+a

Sol:
1 + a2 1 − a2
−
1 − a2 1 + a2
=

:

1+a 1−a
−
1−a 1+a

⇔

(1 + a2 )2 − (1 − a2 )2
(1 − a2)(1 + a2 )

:

(1 + a)2 − (1 − a)2
(1 − a2 )

(1 + a2 + 1 − a2 )(1 + a2 − 1 + a2 ) 1 − a2
2 · 2a2
1 − a2
a
·
=
·
=
2 )(1 + a2 )
2 )(1 − a2 )
(1 − a
4a
(1 + a
4a
1 + a2
1.5 Ptos4. Encontrar la soluci´n de las siguientes ecuaciones
o
(a)

1
1
1
(x + 1) + (x + 2) = 3 − (x + 3)
2
3
4
Sol:
1
1
1
(x + 1) + (x + 2) = 3 − (x + 3) / · 10 ⇔ 6x + 6 + 4x + 8 = 36 − 3x− 9 ⇔ 13x = 13 ⇒ x = 1
2
3
4
0.7 Ptos
2

(b) (x + a)(x − b) + (x + b)(x − a) = 2a − 2ab
Sol:

(x+a)(x−b)+(x+b)(x−a) = 2a2 −2ab ⇔ x2 −bx+ax−ab+x2 −ax+bz−ab = 2a2 −2ab ⇔ 2x2 = 2a2

⇔ x2 =...