prueba hipotesis 1 poblacion

Problemas Resueltos:
Prueba de Hipótesis: Una población
Semestre I 2012

Profesor: Víctor Correa S.

Warning: This section may be bad for your academic health. In order to get any benefit
from doing de exercises, do not look at the hints until you have given the problem an honest
try are stuck. More importantly, never look at the partial solutions below until you have
finished thatexercise yourself. The use the answer only to check that you have not made a
mistake . “Working backwards” from a solution will never teach you crucial solving skill.
George R, Terrel, pag. 437, “Mathematical Statistics: A Unified Introduction”, 1999
Springer.
Ejercicio 1
Considera una m.a.s. de n = 9 de una población con distribución normal con media μ y
desviación estándar σ = 4. Considera lashipótesis Ho:  = 10 vs H1:  = 14.
a) ¿Cuál de las siguientes regiones de rechazo es la más razonable para probar Ho?
R  { X / X  c} o R  { X / X  c} . Explica tu elección.
b) Determina la constante “c” en la región elegida en a), de modo que,
P( Error I ) = PHo( Rechazar Ho ) = 0,05.
c) Dado que el promedio de la muestra resultó 13,1 ¿rechazas la hipótesis Ho?
d) Considera la prueba,Ho:  = 14 vs H1:  = 10. ¿Cuál es la probabilidad del Error de
Tipo I y nivel de riesgo de la región: R  { X / X  7,5} ?
Solución
a)
Si Ho es falsa y H1 verdadera entonces es razonable esperar un valor del promedio de la muestra alejado a la
derecha de 10. Así la región apropiada es

R  { X / X  c} .

b)
_

PHo( Rechazar Ho ) = PHo( X  c ) = 0,05.

X  H 0 N (10,

16
)
9PH 0 ( X  c)  1  P( Z 

c  10
)  0,05
4/3
1

P( Z 

c  10
c  10
)  0,95 
 1,64  c  10  1,64  (4 / 3)  12,2
4/3
4/3

La región de rechazo es,
c)

R  { X / X  12,2}

_
x = 13,1 pertenece a la región de rechazo, así se rchaza Ho al 5% de riesgo o al error de tipo I.
Como la hipótesis nula especifica un valor puntual para  la probabilidad de Error de Tipo Iy el riesgo
coinciden:

P( Error I )  PH 0 ( X  7,5)  P( Z 

7,5  10
 1,86)  0,03
4/3

Ejercicio 2
Considera una m.a.s.(n ) de una población con media μ y desviación estándar σ.
a) Si la población tiene distribución normal, prueba las Hipótesis Ho:  ≤ 100 vs H1:  > 100,
con un nivel del 5%, dado que n = 4, el promedio resultó 110 y la desviación estándar
14.
b) Si lapoblación tiene distribución normal con varianza 16, prueba la Hipótesis Ho:  ≤
100 vs H1:  > 100, con un nivel del 3%, dado que n = 4, el promedio resultó 110 y la
desviación estándar 14.
c) Si la población tiene varianza 16, prueba la Hipótesis Ho:  ≥ 100 vs H1:  < 100, con un
nivel del 1%, dado que n = 36, el promedio resultó 96 y la desviación estándar 14.
d) Prueba la Hipótesis Ho:  = 100vs H1:  ≠ 100, con un tamaño del 1%, dado que n =
36, el promedio resultó 96,0 y la desviación estándar 5,1.
e) Prueba la Hipótesis Ho:  = 10 vs H1:  ≠ 10, con un nivel del 1%, dado que n = 6, el
promedio resultó 12,0 y la desviación estándar 9,5.
f) Si la población tiene distribución normal, prueba la Hipótesis Ho: σ ≤ 20 vs H1: σ > 20, al
5% de significación, dado que n = 10, elpromedio resultó 110 y la desviación estándar
24.
Solución
a)
Método de la Región de Rechazo
_
Sea D = X - 100
Dada la alternativa, la región de rechazo apropiada es: R = { D /

D  k }

Región de rechazo,
R = { D /
R = { D /

_
D  k = t n-1; 1 –α × s/√n }
_
D  t 3; 0,95 × 14/√4 = 2,3534×14/2 = 16,5 }
_

2

Dado que Dobs = Xobs - 100 = 110 - 100 = 10 < 16,5, no pertenece a R, seconcluye que no hay evidencia
para rechazar Ho al 5%.
Para justificar la región anterior primero se resuelve un problema más fácil:
Ho:  = 100 vs H1:  > 100
Como la población es Normal se tiene:

X  100  H 0 N (0,

2
4

),

Como σ no se conoce, :se usa:

t

X  100
 H 0 t n1
s/2

Entonces, la región:
R = { D /

_
D  k = t n-1; 1 –α × s/√n }

Tiene P(Error...