Prueba

Cap´
ıtulo 1

Interpretaci´n geom´trica de las
o
e
derivadas parciales de una funci´n de
o
dos variables
Contenidos
1. Derivadas parciales de funciones de varias variables
2. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales de primer orden de una funci´n
o
e
o
de dos variables

En esta pr´ctica calculamos derivadas parciales de funciones de varias variables, tanto de primera
orden como de orden superior.
Analizamos la interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales de primer orden en un punto
o
e
(a, b), fx (a, b), fy (a, b), de una funci´n de dos variables f (x, y ), como las pendientes de las rectas
o
tangentes a las curvas intersecci´n de la superficie de ecuaci´n z = f (x, y ), con los planos de ecuaciones
o
o
y = b, x = a respectivamente.

1.1.Derivadas parciales de funciones de varias variables

Con la funci´n diff podemos calcular, adem´s de derivadas ordinarias, derivadas parciales de
o
a
funciones de varias variables. Por ejemplo, sea f (x, y, z ) = x + sen(xy ) + ln(xz ):
( %i11) f(x,y,z):=x+sin(x*y)+log(x*z);
( %o11)
f (x, y, z ) := x + sin (x y ) + log (x z )

Las derivadas parciales primeras fx (x, y, z ), fy (x, y,z ), fz (x, y, z ) son, respectivamente:
( %i12)
( %o12)

diff(f(x,y,z),x);
y cos (x y ) +

( %i13)

diff(f(x,y,z),y);

1
+1
x

´
CAPITULO 1.
2

´
´
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE UNA
´
FUNCION DE DOS VARIABLES

( %o13)
x cos (x y )
( %i14)
( %o14)

diff(f(x,y,z),z);
1
z

Podemos calcular tambi´n derivadas parciales de mayor orden con lamisma funci´n diff, por
e
o
ejemplo, fxx (x, y, z ), fxy (x, y, z ), fzyx (x, y, z ) para la funci´n f anterior, son respectivamente:
o
( %i15)
( %o15)

diff(f(x,y,z),x,2);
−y 2 sin (x y ) −

( %i16)
( %o16)

1
x2

diff(f(x,y,z),y,1,x,1);
cos (x y ) − x y sin (x y )

( %i17)
( %o17)

diff(f(x,y,z),x,1,y,1,z,1);
0

Observemos que el orden de derivaci´n para la funci´ndiff es de derecha a izquierda.
o
o
Como ultimo ejemplo de esta secci´n, comprobamos que la funci´n z (x, t) = sen(x − ct) con c
´
o
o
constante, es soluci´n de la ecuaci´n en derivadas parciales ztt = c2 zxx :
o
o
( %i18)
( %i19)
( %o19)

z(x,t):=sin(x-c*t)$
is(ratsimp(diff(z(x,t),t,2)=c^2*diff(z(x,t),x,2)));
true

1.2.

Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales
o
eSabemos que dada una funci´n f (x, y ) de dos variables, fx (a, b) representa la pendiente de la recta
o
tangente a la curva intersecci´n del plano y = b con la superficie z = f (x, y ) en el punto (a, b, f (a, b)),
o
y fy (a, b) representa la pendiente de la recta tangente a la curva intersecci´n del plano x = a con la
o
superficie z = f (x, y ) en el punto (a, b, f (a, b)).
2
22
Sea,por ejemplo, f (x, y ) = 1 + xye−(x +y ) y el punto (1, 1/2) ∈ R2 . Veamos gr´ficamente que
a
efectivamente la derivada parcial fx (1, 1/2) es la pendiente de la recta tangente a la curva intersecci´n
o
de la superficie z = f (x, y ) y el plano y = 1/2. Definimos, en primer lugar, f (x, y ):
( %i2)

f(x,y):=1+x*y*%e^(-(x^2+y^2)^2)$

1.2 Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales
oe

3

A continuaci´n calculamos las ecuaciones param´tricas de la curva intersecci´n de la superficie y
o
e
o
el plano y = 1/2:

 x=t
z = f (x, 1/2)
y = 1/2
c:
→c:
.
y = 1/2,

z = f (t, 1/2), t ∈ R.
Seguidamnete calculamos las ecuaciones param´tricas de la recta tangente a esta curva en el punto
e
(1, 1/2, f (1, 1/2)). La recta tangente a la curva c en el punto (1, 1/2, f(1, 1/2)) est´ contenida en el
a
plano y = 1/2 y tiene pendiente fx (1, 1/2). Las ecuaciones son:
z = mx + b
y = 1/2,

r:

Nos queda calcular m y b de la recta r. Guardamos en la variable m, la derivada parcial fx (1, 1/2).
( %i3)
( %o3)

m:subst([x=1,y=1/2],diff(f(x,y),x));
25

−2 e− 16

Para calcular b obligamos que el punto (1, 1/2, f (1, 1/2)) pertenezca a la recta r.
(...