Pruebas de bondad y ajuste

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1. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.

1.1 Prueba ji-cuadrada.

Uno de tantos usos de la prueba ji-cuadrada es la de emplearse como prueba de bondad de ajuste, la cual se utiliza generalmente cuando no se conoce la función de distribución de probabilidad de alguna variable que estamos estudiando, digamos X, y deseamos probar la hipótesis de que X, sigue una función de probabilidad en particular.El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la variable aleatoria X, cuya función de distribución de probabilidad se desconoce. Estas n observaciones se arreglan en un histograma de frecuencias teniendo k intervalos de clase.

TEOREMA. Una prueba de bondad entre frecuencias observadas y esperadas se basa en la estadística.

[pic]

Donde:[pic][pic] = frecuencias observadas
[pic] = frecuencias esperadas
[pic] = es el valor de una variable aleatoria cuya distribución muestral se
aproxima muy cercamente a una distribución ji-cuadrada, con
parámetro v = k – p - 1 llamado grados de libertad.

Donde p representa el número de parámetros para estimarlas frecuencias esperadas de la distribución hipotética y k el número de intervalos.

Si las frecuencias observadas son casi iguales a las frecuencias esperadas, [pic] será pequeña, lo que indica un buen ajuste, llevándonos a aceptar la hipótesis nula [pic]. Si las frecuencias observadas difieren considerablemente de las frecuencias esperadas, el valor [pic] será grande y el ajuste será muypobre, por lo que rechazaremos la hipótesis H0. Con lo que podríamos concluir que existen diferencias significativas entre los valores observados y los esperados.

La región crítica caerá en la cola derecha de la distribución ji-cuadrada. Para un nivel de significación (, se rechazará H0 si [pic] es mayor [pic]

Cuando el valor de alguna de las frecuencias esperadas sea menor o igual a cinco, serecomienda sumar los intervalos de clase en un solo intervalo, aunque esto nos lleva a la reducción de los grados de libertad.

El procedimiento para la realización de la prueba Ji-cuadrada es el siguiente:

1. Se plantean las hipótesis de trabajo.

2. Se ordenan los valores observados ([pic]) en una tabla de frecuencias con k intervalos de clase.

3. Se calculan las probabilidades paracada intervalo de clase en base a la distribución supuesta, y se obtienen los valores esperados ([pic])

4. Se obtiene el estadístico de prueba [pic]

5. Se obtiene la región crítica [pic] en la cola derecha de la distribución ji-cuadrada, para un cierto valor de ( y parámetro v = k – p – 1, donde p es el número de parámetros estimados para calcular las probabilidadescorrespondientes.

6. Si [pic] es mayor que [pic] se rechaza la hipótesis H0 y se obtiene la conclusión.

Ejemplo 1. Se considera en forma hipotética que el número de defectos en tarjetas de circuito impreso sigue una distribución de Poisson. Una muestra aleatoria de n = 60 tarjetas impresas se ha colectado y los defectos presentados son los siguientes:

|Número de defectos |Numerode tarjetas |
| |(Frecuencia observada) |
|0 |32 |
|1 |15 |
|2 |9 |
|3|4 |

Con ( = 0.05 pruebe la hipótesis de que la función de la muestra se ajusta a una distribución de Poisson.

Sabemos que la función de probabilidad de la distribución de Poisson es:

[pic]

Donde el promedio de defectos por tarjeta es (, que es igual a la media ponderada, definida por:

[pic]

Planteamiento...
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