Psicologia

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MATEMÁTICAS I

UNIDAD 2

ECUACIONES, INECUACIONES

Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Tema No. 1 Concepto de Ecuación e inecuación

1. DEFINICIONES

En el conjunto numérico de los Reales, se pueden establecer relaciones fundamentales como las siguientes:

• Relación de Equivalencia [pic]
Se lee: “a” es equivalente lógico de “b”

Las propiedades de la equivalencia lógica son:
PropiedadReflexiva: [pic], todo real es equivalente a si mismo.
Propiedad simétrica: Si [pic] entonces [pic]
Propiedad transitiva: Si [pic]y [pic] entonces [pic]

La relación de equivalencia da origen a las ECUACIONES, que son expresiones matemáticas que enuncian una igualdad o condición de equilibrio en términos de una variable o incógnita y un conjunto solución que contiene los valores de lavariable para la cuales se satisface la igualdad.

Ejemplos de ecuaciones:
|36 + x |= |– 12 |
|115 |= |4x – 41 |
|x + 124 |= |70 – 2 |
|5x + 3y – 4 |= |0 |
|5 – ab |= |ax – by |
|2x + 8 |=|3x – 12 |
|0 |= |3xy + 3x – 5 |
|2/3x ÷ 4/7y |= |–28 |

En estos ejemplos puede observarse lo siguiente:
• Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, laexpresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.   
• El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra. En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.
• Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 =x), al número 2 (x 2), al número 3 (x 3), al número 4 (x 4), etc. El exponente indica el grado de la ecuación.
• Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrado el valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.

Para la resolución de ecuaciones algebraicas de PRIMER GRADO o LINEALES es preciso tener en cuentalas propiedades elementales de las igualdades:

• Cuando se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente.

• Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen globalmente por un mismo número, el resultado es también una ecuación equivalente. Cuando se divida tiene que ser por un número distinto de cero.

Estas propiedadessuelen utilizarse para transponer términos, mediante dos técnicas complementarias:

• Sumar en ambos miembros de una ecuación el valor opuesto (cambiado de signo) de un término que se quiera transponer de un miembro a otro.

• Multiplicar ambos miembros por el inverso del término que se quiera transponer.

Ejemplo.
Sea la ecuación: [pic]

La afirmación de que una expresión es mayor omenor que otra expresión se llama Desigualdad. Las expresiones se llaman miembros de la desigualdad. Nos ocuparemos de desigualdades de números reales. Si a y b son números reales cualesquiera nos permite establecer las siguientes definiciones:

a < b se lee “a es menor que b”, es decir b - a es positivo.

a > b se lee “a es mayor que b”, es decir a - b es positivo.

a ( b selee “a es menor o igual que b”

a ( b se lee “a es mayor o igual que b”

Observación 1:
Si x > 0 entonces x es positivo (números positivos)
Si x < 0 entonces x es negativo (números negativos)
Donde x representa cualquier número en la recta numérica desde - ∞ hasta +∞
El símbolo ∞ (“infinito”) no es un número. La notación -∞ y +∞ indica simplemente que no tiene punto final a...
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