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6.7 Teorema de Cayley-Hamilton
En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de unespacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.
En términos matriciales, eso significa que :
si A es una matriz cuadrada de orden n y si
[pic]Es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces al sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:
[pic]
El teorema deCayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.
Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dadaes un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.
Demostración.
Efectuamos la demostraciónsobre la matriz A. Definamos la matriz B(X) = tcom(XI − A). Sabemos que
[pic]
Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios en X con coeficientes en el anillo de lasmatrices cuadradas nxn con coeficientes en K y esa igualdad implica que P(X).I es divisible por la izquierda por XI − A. Esto implica entonces que el valor a la derecha (igual en realidad aquí también a suvalor a la izquierda, ya que se obtiene B(X).(XI − A) = det(XI − A).I) del polinomio P(X).I para X = A es nula. Este valor sólo es P(A), lo que termina la demostración.

Ejemplo
Consideremos porejemplo la matriz
[pic]
El polinomio característico se escribe
[pic]
El teorema de Cayley-Hamilton afirma que
A2 − 5A − 2I2 = 0
y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso.Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior
A2 − 5A − 2I2 = 0
A2 = 5A +...
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