puntos de inflexion

Punto de inflexión 

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real
En las funciones derivables reales deuna variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en las derivadas terceras o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivadapar, no lo es. Más concretamente:
1. Se halla la primera derivada de 
2. Se halla la segunda derivada de 
3. Se halla la tercera derivada de 
4. Se iguala la segunda derivada a 0: 
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada,se sustituye cada :
1. Si , se tiene un punto de inflexión en .
2. Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que  no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
2.1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
2.2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.
La ecuación  no tiene puntos deinflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en  la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en  es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que  tampoco presenta un extremo en.




11.1  Curvatura y puntos de inflexión


Estudio de la curvatura y lospuntos de inflexión de una función. Página web con ideas, conceptos y ejercicios de análisis. .


Información que obtenemos de la derivada segunda




















Confirmación de la existencia de máximos y mínimos









Curvatura: concavidad y convexidad














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Puntos de inflexión


Los puntos en los que la curvaturapasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión.














Ejemplos













Punto crítico
En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función.Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función.
El siguiente teorema sobre acotación, referido a funcionescontinuas, corresponde ser tratado en una lección sobre funciones continuas (de hecho el alumnado debiera conocerlo ya) sin embargo lo incluimos aquí dado que el interés por los puntos críticos está relacionado con la búsqueda de valores extremos en un cerrado [a, b]
Teorema (de los extremos absolutos de Weierstrass)
Sea f(x) una función continua en [a,b]. Entonces f(x) alcanza un máximo y un mínimoabsolutos sobre [a,b].
 La función es continua en el intervalo [a,b],  toma el valor menor en x=c y el valor mayor enx=d, y además son extremos locales.


No hacemos la demostración, que tiene otro lugar, pero podemos ilustrarlo con algunas figuras que nos ayuden a comprender su significado dado que vamos a aplicarlo en la resolución de problemas....