Puntos Y Vectores En El Plano

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 5. Geometría en el plano

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO
PUNTOS EN EL PLANO
Tomando como referencia los ejes cartesianos del plano, un punto se representa mediante un par
ordenado (a, b) de números reales, es decir, mediante un elementodel producto cartesiano R por R.
El número a se llama abscisa y se representa en el eje horizontal y el número b se llama ordenada
y se representa en el eje vertical. El punto de intersección de las paralelas a los ejes que pasan por
a y b respectivamente, representa al punto (a, b). Los números a y b se denominan coordenadas
cartesianas del punto (a, b).

VECTORES FIJOS
Un vector fijo enel plano es un segmento orientado con origen en un punto A y extremo en un
punto B, se denota AB .

En el caso de que el origen y el extremo coincidan, se dice que el vector es nulo.
Se llaman componentes del vector fijo AB al par de números reales que se obtiene restando las
coordenadas del extremo B menos las del origen A. Si el vector es nulo sus componentes son (0, 0).
Ejemplo 1:
Dadoslos puntos A = (1, 3) y B = (2, -1), las componentes del vector fijo AB son (2-1, -1-3) = (1, -4)

Dirección, sentido y módulo de un vector
• La dirección de un vector fijo no nulo es la de la recta que lo contiene. Así dos vectores tienen la
misma dirección si están en la misma recta o en rectas paralelas.

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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Ejemplo 2: Los vectores AB , CD y EF representados en la figura tienen la misma dirección

• Dos vectores fijos AB y CD con la misma dirección tienen el mismo sentido si:
- Estando en distintas rectas, los segmentos AC y BD no se cortan.
- Estandoen la misma recta, la intersección de las semirrectas determinadas por los orígenes de
ambos vectores es otra semirrecta y no un segmento o el conjunto vacío.
Ejemplo 3: Considerando los vectores del ejemplo anterior, se tiene que AB y EF tienen el mismo sentido, pero AB y

CD tienen distinto sentido y CD y EF también.

• El módulo de un vector fijo AB es la longitud del segmento AB y sedenota | AB |.
Para calcular el módulo del vector AB , de componentes (x, y), basta aplicar el teorema de
Pitágoras obteniéndose | AB | =

x2 + y 2

Ejemplo 4: Dados los puntos A=(-3, 2) y B=(1, 4) las componentes del vector fijo AB son (1-(-3), 4-2) = (4, 2) y su
módulo es ⏐ AB ⏐ =

42 + 22 =

20 = 2 5

Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos del plano A = (a1, a2) yB=( b1, b2) es el módulo del vector fijo AB ,
es decir, d(A, B) =| AB | = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2
Ejemplo 5: Dados los puntos A=(3, -2) y B=(4, 1) , su distancia es d(A, B) =

(4 − 3)2 + (1 + 2)2 = 10

VECTORES LIBRES
Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo
sentido.
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Atendiendo a sus componentes se puede comprobar que dos vectores fijos son equipolentes si y
sólo si tienen las mismas componentes.
La relación de equipolencia proporciona una clasificación de los vectores fijos en subconjuntosdisjuntos, cada uno de los cuales da lugar a un vector libre.
Así, se define vector libre como el conjunto formado por todos los vectores fijos equipolentes a uno
dado. Se denota generalmente con una letra minúscula.
Dado un vector libre a y un punto del plano A, existe un único vector fijo que lo representa con
origen en dicho punto. Así, para trabajar con un vector libre se puede elegir como...