Putosputos

Cálculo científico y técnico con
HP49g/49g+/48gII/50g
Módulo 3: Aplicaciones
Tema 3.2 Determinación aproximada de
extremos: Método de Newton-Raphson
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería Manresa
Universidad Politécnica de Catalunya
Dep. Matemática Aplicada III
Abril 2008, versión 1.2

1

Introducción

Supongamos que deseamos calcular los extremos relativos (máximos omínimos) de una función f (x), dos veces derivable. En ese caso, sabemos que
los posibles extremos se producen en los llamados puntos críticos, esto es,
en los valores de x que anulan la primera derivada.
Si x∗ es un punto crítico, entonces la segunda derivada puede aclararnos si
se trata de un máximo o un mínimo:
• Si f 0 (x∗ ) = 0 y f 00 (x∗ ) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en
x = x∗ .
• Si f0 (x∗ ) = 0 y f 00 (x∗ ) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en
x = x∗ .
El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite
aproximar los ceros de una función. Podemos, por lo tanto, aplicar el método
a la función derivada para aproximar los puntos críticos de una función. Para
ello, debemos considerar la ecuación
f 0 (x) = 0.
En este caso, partimos de una estimación inicialdel punto crítico x0 , y
las siguientes aproximaciones se calculan de forma recurrente mediante la
fórmula
f 0 (xj )
.
xj +1 = xj − 00
f (xj )
1

Supongamos, por ejemplo, que deseamos aproximar el mínimo de la función
f (x) =

sin x
x

en el intervalo [2, 8]. Si representamos la curva y = f (x)

vemos que, efectivamente, la función tiene un mínimo en el intervalo. El
mínimo se alcanzaaproximadamente para x = 4.5 vale aproximadamente
ymin = −0.22.
Calculamos
cos x sin x
− 2,
f 0 (x) =
x
x
cos x
sin x
sin x
−2 2 +2 3 ,
f 00 (x) = −
x
x
x
y resulta la fórmula recurrente
xj +1 = xj −

cos xj
xj

−

sin xj
xj

−2

−

sin xj
x2
j

cos xj
x2
j

+2

sin xj
x3
j

.

Las sucesivas aproximaciones toman los siguientes valores
x0 = 4.5,
x1 = 4. 49339 97,
x2 = 4. 49340 95,
x3 = 4. 49340 95.
De dondeobtenemos el punto crítico
x∗ = 4. 49341.
Sustituyendo en la segunda derivada, resulta
f 00 (4. 49341) = 0. 21723358 > 0,
por lo tanto, se trata de un mínimo relativo. El valor del mínimo es
f (4. 49341) = −0. 21723363.
Observa que para calcular un extremo relativo tienes que seguir los siguientes
pasos:
2

1. Cálculo de puntos críticos. Requiere el cálculo de la primera derivada
y la resoluciónde la ecuación f 0 (x) = 0.
2. Identificación de extremos. Requiere el cálculo de la segunda derivada
y la evaluación de la segunda derivada en los puntos críticos.
3. Cálculo de los valores máximos y mínimos. Requiere la evaluación de
la función en los puntos críticos.

2

Aplicación del método con la calculadora

Puedes resolver el ejemplo anterior usando la calculadora mediante los siguientespasos:
1. Fija el modo real exacto R = y el modo angular en radianes.
2. En primer lugar, debes disponer de una estimación inicial para el punto
crítico. Puedes obtenerla, por ejemplo, representando gráficamente la
función en el intervalo de interés. En este ejemplo tomaremos x0 = 4.5.
3. Carga la expresión de f (x) en la pila.

4. Pulsa ENTER para obtener una copia.

pulsa [H] para acceder al editorde ecuaciones.

3

Ahora queremos escribir F (x) = delante de la expresión seleccionada.
Quizás la forma más rápida de hacerlo es pulsar [F 1] para ejecutar
EDIT y completar el trabajo en el editor de línea

Pulsa ENTER para volver al editor de ecuaciones

y pulsa nuevamente ENTER para cargar la expresión en la pila.

Ahora ejecuta el comando DEFINE1 para construir la función. Pulsa
[VAR] paraacceder al área de variables y observa que la función se ha
creado.
1

Á[2].

4

Posteriormente emplearemos esta función para calcular el valor de f (x)
en el punto crítico.
5. Vamos a calcular la primera derivada. Accede al menú de herramientas
de cálculo y usa DERVX para calcular f 0 (x)

6. Ahora vamos a calcular la segunda derivada. Pulsa ENTER para
duplicar f 0 (x) y usa DERVX para calcular...