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Informática Gráfica

EJERCICIOS

Tema 1: Geometría 2D y 3D. Transformaciones



1.1 Geometría 2D. Transformaciones

1. Se consideran 2 rectas de ecuaciones: r1 ( 2x - y - 3 = 0 r2 ( x - 3y + 1 = 0
Hallar el ángulo que forman y el punto de intersección.

2. Se consideran 2 rectas de ecuaciones: r1 ( (x,y) = (1,1) + t(2,1) r2 ( (x,y) = (1,-2) + s(1,2)
Hallar el ánguloque forman y el punto de intersección.

3. Determinar si los puntos (1,1), (3,2) y (6,3) están o no alineados.

4. Se consideran los puntos del plano P1 = (1,1) y P2 = (5,4)

a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que los une de forma que el parámetro represente la distancia de un punto (x,y) de la recta a P1

b) Idem, de forma que para t=t0 se obtenga elpunto P1 y para t=t1 el punto P2

5. Sea la curva con ecuaciones paramétricas: (x,y) = (1,1) + (2t2-t)(2,1)

a) Comprobar que todos sus puntos están sobre una recta; que para t=0 se obtiene el punto (1,1) y para t=1 el punto (3,2).

b) Comprobar que, sin embargo, para 0 < t < ½ ningún punto generado por las ecuaciones pertenece al segmento que une los puntos (1,1) y (3,2).c) A partir de la ecuación explícita de la recta sobre la que están los puntos, comprobar que aunque el punto (-1,0) verifica dicha ecuación, no existe ningún valor de t para el que la ecuación paramétrica lo produce.

6. Sean P0 = (x0, y0) y P1 = (x1, y1) dos puntos distintos del plano y f (t) una función continua, derivable con f ´(t) [pic] 0 y tal que f (0)=0, f (t1)=1. Seconsideran las ecuaciones paramétricas:

x = x0 + (x1 - x0)f (t)

y = y0 + (y1 - y0)f (t)

a) Demostrar que para t((0, t1( (x,y) recorre todos los puntos del segmento P0 P1 y ninguno más.

b) Obtener el vector velocidad e indicar cómo elegir la función f (t) de forma que la velocidad esté especificada de antemano.

c) Utilizando los apartados anteriores,obtener las ecuaciones paramétricas para que el segmento sea recorrido: c1) Con velocidad constante c2) Con velocidad inicial 0 y aceleración constante c3) Con velocidad inicial y final 0.

7. Se considera un rayo 2D con origen en (0,1) y dirección (-2,1). Hallar el punto de intersección con el eje de abscisas, el ángulo de incidencia y la ecuación del rayo reflejado.
8. Se consideran 3poblaciones representadas por los puntos P1 = (0,0) P2 = (20,15) P3 = (5,0)
y se pretende construir una carretera que una P1 con P2 con una variante hacia P3

a) Obtener las ecuaciones explícita y paramétricas de la recta que une P1 y P2

b) Determinar el punto en el que debe abrirse la variante hacia P3 de forma que ésta tenga longitud mínima. Hallar asímismo a quédistancia de P1 se encuentra este punto.

9. Dada una recta y = mx + k se pretende dibujar n+1 puntos de ella correspondientes a las abscisas x0, x1, ... , xn con xi+1 = xi + h. Desarrollar un algoritmo que calcule los puntos utilizando exclusivamente sumas.

10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,1), (2,2) y (3,1).

11. Sea la curva con ecuacionesparamétricas: [pic] [pic]

Demostrar que para t((-(,() el punto (x,y) recorre todos los puntos de la circunferencia de centro (0,0) y radio 1, exceptuando el punto (-1,0). Obtener el vector velocidad correspondiente a esta parametrización.

12. Se considera la parábola y = x2 y un rayo con origen en el punto (0,¼) y dirección arbitraria. Dado un punto (x0, y0) de la parábola, hallar ladirección del rayo que incide sobre él y la del rayo reflejado (se supone la parábola reflectante). Comprobar que el rayo reflejado tiene siempre la dirección (0,1) independientemente del punto (x0, y0).

13. Se considera el cuadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).

a) Efectuar un escalado de factores p=3, q=2 y a continuación una rotación de 45º.

b) Realizar las...
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