Quimica

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MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1. Matrices.
1.1 Definici´n. Sea K un cuerpo y n, m ∈ N∗ . Una matriz n × m sobre K es una o aplicaci´n: o A : {1, . . . , n} × {1, . . . , m} −→ K.

Si (i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m} denotaremos aij = A(i, j) y diremos que aij es el elemento (i, j) de A. Denotaremos por Mn×m (K) el conjunto de las matrices n × m sobre K.La forma de representar la matriz anterior es ordenando las im´genes por A en una a caja que consta de n filas y m columnas de la siguiente forma: a11  a21 A= .  . .  a12 a22 . . . an2 ... ... .. .  a1m a2m  . . .  .

an1

. . . anm

As´ diremos que A tiene n filas y m columnas. ı, Para abreviar escribiremos A = (aij ) para referirnos a la matriz anterior.

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Juan Medina MolinaUniversidad Polit´cnica de Cartagena e

se les llama vectores fila de A y a los m vectores de K n (a11 , a21 , . . . , an1 ), (a12 , a22 , . . . , an2 ), . . . , (a1m , a2m , . . . , anm ) se les llama vectores columna de A. Una matriz real es una matriz con elementos en R y una matriz compleja es una matriz con elementos en C. 1.2 Definici´n. Dada la matriz o  a11 a12  a21 a22 A= . .  . . .. an1  a1m a2m  .  ∈ Mn×m (K) .  .  an1 an2  .  ∈ Mm×n (K) .  .

A los n vectores (a11 , a12 , . . . , a1m ), (a21 , a22 , . . . , a2m ), . . . , (an1 , an2 , . . . , anm ) ∈ K m

... ... .. .

an2

. . . anm

se define la matriz traspuesta de A a:  a11 a21 . . .  a12 a22 . . . AT =  . . ..  . . . . . a1m a2m . . . . µ ¶ −1 2 3 1.3 Ejemplo. Si A = ∈ 4 0 2 M3×2 (R). −1 Si B = 1 0  3 2 −1 

anm

M2×3 (R) entonces AT  −1

4 2  3 3 −5  ∈ M3×4 (R) entonces B T =  4 1 1 2

1 0  2 −1   ∈ M4×3 (R). 3 1 −5 1

 −1 4 =  2 0 ∈ 3 2



1.4 Definici´n. Dada A ∈ Mn×m (K), diremos que A es cuadrada si n = m. Denoo taremos por Mn (K) al conjunto Mn×n (K). 1.5 Definici´n. Dada A = (aij ) ∈ Mn×m (K), a la r-tupla (a11 , a22 , . . . , arr ), donde o r = min{n,m}, se le llama diagonal principal de A. 1.6 Definici´n. Dada A = (aij ) ∈ Mn×m (K) se define la matriz opuesta de A a o −A = (bij ) ∈ Mn×m (K) donde bij = −aij 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. 2

Juan Medina Molina

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1.7 Definici´n. Se define la matriz 0n×m = (cij ) ∈ Mn×m (K) donde cij = 0, o 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. 1.8 Definici´n. Sea A = (aij ) ∈ Mn×m (K). o i)Diremos que A es una matriz fila si n = 1. ii) Diremos que A es una matriz columna si m = 1. 1.9 Definici´n. Sea A = (aij ) ∈ Mn (K). o i) Diremos que A es diagonal si aij = 0 si i 6= j. ii) Diremos que A es triangular superior si aij = 0 si i > j. iii) Diremos que A es triangular inferior si aij = 0 si i < j. iv) Diremos que A es sim´trica si AT = A. e v) Diremos que A es antisim´trica si AT = −A. eNotar que si una matriz cuadrada es antisim´trica entonces la diagonal principal es e el vector nulo. vii) Una matriz escalar es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales. viii) Se define la matriz unidad de orden n y se denota In a la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son 1. 1.10 Definici´n. o Sea A = (aij ) ∈ Mn×m (K), i1 , i2 , . . . , ir ∈{1, 2, . . . , n} y

j1 , j2 , . . . , js ∈ {1, 2 . . . , m} con i1 < i2 < . . . < ir y j1 < j2 < . . . < js . Entonces la matriz que resulta de eliminar las filas distintas de i1 , i2 , . . . , ir y las columnas distintas de j1 , j2 , . . . , js o sea a
i1 j1

se dice que es una submatriz de orden r × s de A.

 ai2 j1  .  . . air j1

ai1 j2 ai2 j2 . . . air j2

... ... .. . ...ai1 js  ai2 js  .  .  . air js

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Juan Medina Molina

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 −1 3 4 5 1.11 Ejemplo. Sea A =  2 2 3 3  ∈ M3×4 (R). Las submatrices de 1 −1 1 −1 orden 2 × 2 de A son: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 3 −1 4 −1 5 3 4 3 5 4 5 , , , , , , 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 3 −1 4 −1 5 3 4 3 5 4 5 , , , , , , 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 µ ¶...
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