quimicaaa

3.1.4
Multiplicación de matrices
En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicaciónmatricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Multiplicación de una matriz por un escalar
Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:
Que se escribe genéricamente como
la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A osimplemente kA es:
Que se escribe genéricamente como
En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

Propiedades
Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad
Descripción
Clausura
cA es también una matrizElemento neutro
Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A
Propiedad asociativa
(cd)A = c(dA)
Propiedad distributiva
- De escalar
- De matriz

c(A+B) = cA+cB
(c+d)A = cA+dA
Multiplicación de una matriz por otra matriz


Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores.
Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnasde la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:
y
La multiplicación de A por B, que se denota o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

donde cada elemento ci,j está definido por:

Es decir:

Propiedades
Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a ungrupo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad
Descripción
Clausura
AB es también una matriz
Elemento neutro
Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que: I·A = A·I = A
Propiedadasociativa
(AB)C = A(BC)
Propiedad distributiva
- Por la derecha
- Por la izquierda

(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB

Demostración de la propiedad asociativa
Sean A una matriz de mxn; B una matriz de nxp; y C un matriz de pxq. Entonces, AB sera una matriz de mxp. Del mismo modo, BC sera una matriz de nxq. Por lo tanto, usando sumatoria, verificaremos la propiedad asociativa del producto dematrices, es decir, (AB)C=A(BC). Para AB:

Luego, multiplicando D por C:

Reemplazando D por AB:
(1)
Ahora, para BC:

Luego, multiplicando A por E:

Reemplazando E por BC:
(2)
Con lo que verificamos que (1) y (2) son iguales y se cumple la propiedad asociativa:

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.
y por el contrario
La división entrematrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.
Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante una multiplicación de dos matrices:

Aplicaciones
Lamultiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo de microarrays, en el área de bioinformática.
Sistemas...