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Capítulo 12. Introducción a la Termodinámica Estadística.

1) Introducción
Mecánica Estadística: disciplina científica que pretende
predecir las propiedades macroscópicas de un sistema a partir
de las propiedades moleculares.
Termodinámica estadística: parte de la Mecánica Estadística
que estudia los sistemas en equilibrio.

Mecánica
Cuántica
Termodinámica
Estadística

TermodinámicaClásica

Mecánica
Clásica

Estados de un sistema:
Macroestado
Estado termodinámico de un sistema
Depende del valor de las "funciones de estado"
Complexión o Microestado.
Mecánica clásica: con N partículas el estado está definido por
el valor del las f coordenadas de posición y los f impulsos de
cada partícula.
Mecánica cuántica: el estado está descrita por la función de
estado Ψ.ˆ
HΨ =EΨ

[12.1]

Ψ = Ψ(q1, q2, ... , qN, t)

[12.2]

qi son las coordenadas espaciales y de espín
Modelo:
•

Las N partículas son idénticas (sustancia pura)

•

Las partículas son permanentes (equilibrio químico)

Cap. 12. Introducción a la Termodinámica Estadística

1

•

El sistema está en estado estacionario

•

Las partículas son independientes (gas ideal)
N

NE = ∑ Ei

ˆ
ˆ
H = ∑ Hi

[12.3]

i =1

[12.4]

i =1

ˆ
H i Ψi (q i ) = E i Ψ (q i )

[12.5]

Ψ (q 1 , q 2 , ..., q n ) = Ψ (q 1 ) Ψ (q 2 ) ... Ψ (q N )

[12.6]

Para especificar el microestado según [12.6] es necesario
especificar si las partículas son discernibles (clásicas) o
indiscernibles (fermiones, bosones)
Estadística de Maxwell-Boltzman (MB): se aplica apartículas
discernibles
Estadística de Bose-Einstein (BE): se
(partículas indiscernibles de spin entero)

aplica

Estadística de Fermi-Dirac (FD): se aplica
(partículas indiscernibles de spin semientero)

a

a

bosones

fermiones

Ejemplo 12.1. Posibles complexiones de un sistema con 2 partículas y energía total 2
(unidades arbitrarias) con tres posibles estados de energía de valorespropios 0, 1 y 2
según los tres modelos estadísticos.
Nivel φ

2
1
0

φ2
φ1
φ0

Ei
2
1
0

F.de Onda

ψ MB
I

ψMB
II

Modelo

Maxwell-Boltzman
Ψ1MB = φ 1 (1)φ 1 ( 2)
Ψ2MB = φ 0 (1)φ 2 ( 2)

MB

Ψ2BE

ψ MB
III

ψBE
I

ψBE
II
BE

ψ FD
I
FD

Bose-Einstein
Fermi-Dirac
BE
Ψ1 = φ 1 (1)φ 1 ( 2)
FD
= φ 0 (1)φ 2 ( 2) + φ 0 ( 2)φ 2 (1) Ψ1 = φ 0 (1)φ 2 ( 2)− φ 0 ( 2)φ 2 (1)

Ψ3MB = φ 0 ( 2)φ 2 (1)

Cap. 12. Introducción a la Termodinámica Estadística

2

2) Principio de Boltzman
Para un sistema aislado en evolución espontánea la entropía
siempre aumenta de acuerdo al II Principio de la Termodinámica
El desorden aumenta desde un punto de vista mecánico
El desorden se mide por el número de microestados compatibles
con ese macroestado.Todos los microestados posibles
principio, igualmente probables.

de

un

sistema

son,

en

Ejemplo 12.2. Resultados de las sumas de los números obtenidos al tirar dos dados en 36
tiradas.
Tiradas
1
2
3
4
5
6

1
2
3
4
5
6
7

2
3
4
5
6
7
8

3
4
5
6
7
8
9

4
5
6
7
8
9
10

5
6
7
8
9
10
11

se

llama

6
7
8
9
10
11
12Probabilidad de sacar 2 = 1/36
Probabilidad de sacar 7 = 6/36
Al
número
de
termodinámica.

complexiones

(Ω )

probabilidad

Ejemplo 12.3. Calcule el número de microestados posibles de un sistema formado por
dos partículas independientes con spín 1/2 (Asumimos que la energía del sistema en
donde la partícula se orienta a favor del campo (+) es la misma que cuando se orienta en
contra delcampo (-).
↑↑

↓↓

↑↓

↓↑

Ω = ω1 ω2 = 2 2 = 4

El número total de microestados del sistema es el producto de
los microestados correspondientes a cada partícula ωi.
N

Para N partículas:

Ω = ∏ ωi

[12.7]

i =1

Si se tienen dos muestras de gas:

Cap. 12. Introducción a la Termodinámica Estadística

3

Ω1

Ω

S1

Ω1
+S
S1 2

S2

2

Ω2

Ω = Ω1 Ω2...