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TRIGONOMETRÍA

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INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

SEGUNDO SEMESTRE

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RADIANES

6.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
En este nivel de Preparatoria, todos los alumnos saben que el valor de π es igual a 3.1416; sin
embargo, ¿todos saben por qué vale eso? ¿todos saben de dónde salió ese valor?
El número Pi es muy viejo. Se sabe que los Egipcios, losChinos y los Babilonios ya tenían las
primeras nociones de este número, aunque sin la precisión actual. Los Babilonios lo tenían como
tres enteros más un octavo, es decir como 3.125; los Egipcios (2000 años A.C.) lo trabajaban
como 3.160484; para los Chinos (1200 años A.C.) valía 3. Más tarde, en Grecia, Arquímedes
(300 años A.C.) lo calculó como 3.14163 y Ptolomeo (200 años A.C.) lo estimó en elcociente de
377 entre 120 que es igual a 3.14166. No se sabe quién lo descubrió, pero en estas culturas comenzaron a darse cuenta que si el diámetro de una circunferencia, sin importar si ésta fuera grande, mediana o chica, se colocaba sobre su propia circunferencia, cabía siempre exactamente tres
veces y un pedacito más.
Una de las formas en que los matemáticos de aquellas culturasintentaron encontrar la relación entre el perímetro de la circunferencia con su diámetro, o su radio que es la mitad, fue a base
construcciones de polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Por ejemplo, en la figura 57 se tiene una circunferencia de
radio r = 10 y un dodecágono regular (polígono de 12 lados). Si
se obtiene el perímetro del dodecágono se habrá obtenido “casi”
el perímetro dela circunferencia.
El perímetro de este dodecágono es de 62.11657082. Se deja
como ejercicio al alumno buscar el procedimiento para llegar a
este resultado. Dividiendo el valor de este perímetro entre el diámetro de la circunferencia (D = 20) se obtiene que

a
b

10

figura 57

c

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62.11657082
= 3.1058
20
entonces, para los hombres deaquellas culturas el valor de π era más o menos 3.1058. Sin embargo, se daban cuenta que si en vez de inscribir a la circunferencia un polígono de 12 lados inscribían uno de 24 lados (el doble del anterior), el perímetro de dicho polígono iba a ser más aproximado al perímetro de la circunferencia y, por lo tanto, el valor de π sería más exacto. Así iban
cada vez aumentando de lados al polígonoinscrito para obtener, a su vez, cada vez mayor aproximación a la exacta relación entre el perímetro de la circunferencia con su propio diámetro. No
olvidar que actualmente podemos calcular el perímetro del dodecágono a base de las funciones
trigonométricas que en aquellos siglos todavía no se descubrían.
De allí nació esta constante. Podría decirse que π representa el número de veces que tododiámetro cabe en su propia circunferencia, independientemente de la longitud de dicho diámetro Es
decir, todo diámetro cabe π veces en su propia circunferencia, o lo que es lo mismo, todo radio
cabe 2π veces en su propia circunferencia.
Los Egipcios, los Chinos, los Babilonios, los Griegos y en todas las culturas primitivas utilizaban dicho número sin abreviarlo, esto es, siempre lo escribían completocon todos sus dígitos.
Fue hasta 1706 en que William Jones en uno de sus tratados lo abrevió como π , es decir haciendo al número 3.14159265358979323846 = π .
En 1766 Lambert se dio cuenta que π debía ser un número irracional. A partir de entonces pareció establecerse una especie de competencia entre los matemáticos para ver quién podía calcular el número π con más decimales. Así, en 1855Richter obtuvo el valor de π con 500 decimales; posteriormente, con la aparición de las computadoras aquello se volvió una carrera más loca
que práctica y en 1957 con un ordenador Pegasus se obtuvieron hasta los primeros 7840 decimales. En 1961 con una IBM 7090 se alcanzaron a obtener hasta 100 000 decimales. En 1967 con
una CDC 6600 se calculó π con 500 000 decimales. En 1987 el número de...