radicales

RADICALES
1.1 Radicales
1.2 Transformaciones de radicales
1.2.1 Teorema fundamental de la radicación
1.2.2 Simplificación de radicales
1.2.3 Reducción de radicales a índice común
1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario

1.3

Operaciones con radicales
1.3.1 Producto de radicales.
1.3.1.1

Extracción de factores fuera del signo radical

1.3.1.2

Introducción de radicalesdentro del signo radical

1.3.2 Cociente de radicales
1.3.3 Potencia de un radical
1.3.4 Raíz de un radical

1.4

Racionalización de denominadores
1.4.1 Denominadores con monomios
1.4.1.1

Con una única raíz cuadrada

1.4.1.2

Con una única raíz n-ésima

1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados

1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes

1.1Radicales

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si una potencia es:
an = b
La radicación es la operación que tiene que obtener a conociendo b y n. Se expresa:
f : an = b 
→ f −1 : a = n b
Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya
potencia n-ésima es igual a b

b=a

n

 n b : es el radical

b : es el radicando

 n : es el índice
a : es la raíz


Un radical puede llevar coeficientes que formen parte de el como por ejemplo 3n b
donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical.
Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice
Si n = 3, es la raíz cúbica
Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente
Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente
natural y basenegativa tenemos que
•

Toda raíz de índice impar de un número tiene el mismo signo que el radicando
3
8 = 2 ya que 2 3 = 8
− 8 = −2 ya que ( −2) 3 = −8
Toda raíz de índice par de un número positivo tiene doble signo
16 = ±4 ya que 4 2 = ( −4) 2 = 16
Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real
4
− 64
3

•
•

Ejercicios:
Calcula el valor de los siguientes radicalesidentificando en cada uno de ellos índice,
radicando y raíz:
1.
2.

9

3.
4.
5.

3

−8

10.

64

3

9.

11.

125
256

12.
13.

4

625
256
729
125
3 −
512
5
7776
3
0.064

6.

256

14.

7.

5

− 32

15.

8.

1.2

4

4

81
256

1024
243
8
125

−

16.

5

3

0.0004

Transformaciones de radicales

1.2.1 Teoremafundamental de la radicación
Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por
un mismo número entero, el valor aritmético del radical no varía.
Demostración
Sea el radical n A p = b
Por definición de raíz: A p = b n

( ) = (b )

Elevamos los dos términos de la igualdad a una potencia q: A p
o sea: A pq = b nq .

q

n q

Extraemos la raíz de índice n ⋅ q : A p⋅q= b nq = b
Luego queda demostrado (por definición de raíz)
nq

nq

n

Ap =

nq

A pq

(1)
Este teorema permite la simplificación de radicales, definir la potenciación de
exponente fraccionario y la reducción a índice común.
Ejemplos:
a)

3a = 4 (3a )2 = 4 9a 2 ;

c) 5 x 2 + y 2 = 10 ( x 2 + y 2 ) 2

b) 3 2 a 2 ( x 2 + y ) = 6 2 2 a 4 ( x 2 + y ) 2 ;
d) 4 36 = 4 6 2 = 6e) 10 32 = 10 2 5 = 2

Ejercicios:
Escribe tres radicales iguales a cada uno de los siguientes radicales:
17)

3xy

18) 3 2 x 2 z

19) 4 5 xy 2 z

20) 3 2ab 2

21) 4 3xy 3 z 2

22) 5

xy 2
z3

1.2.2 Simplificación de radicales
Para simplificar un radical se divide el índice del radical y el exponente del
radicando por sus factores comunes (por el m.c.d).

Ejemplos:
a)6

324 = 6 2 2 ⋅ 3 4 = 6 (2 ⋅ 32 ) 2 = 3 2 ⋅ 3 2 = 3 18

b)

18

27 a 9 = 18 33 ( a 3 ) 3 = 18 (3a 3 ) 3 = 6 3a 3

9b 2
=
x2y4

c)

32 b2
=
x2 ( y2 ) 2

2

 3b 
(3b ) 2
3b
=  2 = 2
2 2
 xy 
( xy )
xy



Ejercicios:
25)

x2
y 20

16a 4
49b 8 c 2

28)

81a 2b 2c 8
144 x 2 y 6

125x 12
29) −
64( a − b) 9

30) 5 − 243( a + b) 10

31)...