Raiz

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 8 (1839 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 26 de marzo de 2010
Leer documento completo
Vista previa del texto
Solución de inecuaciones racionales
Parte 1

Luis Alejandro Acuña Prado
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela de Matemática


Un problema común en la enseñanza matemática, secundaria y universitaria, es el de resolver inecuaciones racionales. Esto se refiere a inecuaciones en las que cada término es una fracción racional, o cociente de polinomios. Un ejemplo de ellas es lainecuación

con incógnita .

El proceso de solución es, en general, tedioso. A grandes rasgos, se necesita convertir la inecuación a la forma donde es una fracción racional (la desigualdad podría ser también , o ), luego encontrar los ceros de los polinomios y (los ceros de un polinomio son los valores de la variable que hacen que el polinomio valga cero; por ejemplo, los ceros de son y ), yfinalmente determinar el signo de en cada intervalo entre dos ceros consecutivos así como a la izquierda del primero y a la derecha del último cero. Hecho a mano, este proceso es laborioso y propenso a errores.

En esta nueva serie presentaremos un programa de computadora para resolver inecuaciones racionales.



Un ejemplo

En el ejemplo recién propuesto, empezamos por recoger todoslos términos a la izquierda de la desigualdad:

para entonces simplificar el lado izquierdo:

Luego de este paso procedemos a factorizar el numerador y el denominador:

Nuestro numerador no está completamente factorizado, ya que el segundo factor puede descomponerse como

Pero como ninguno de esos nuevos factores aporta ceros, no obtenemos ninguna utilidad al factorizar el segundo paréntesisen el numerador. Otra manera de decir eso es que el factor

por no tener ceros, no cambia de signo en y entonces no es necesario descomponerlo más.

Ahora vemos que los ceros del numerador y del denominador son , , y , en orden de tamaño. El siguiente paso será determinar el signo de la fracción en cada uno de los intervalos , , , y . Para eso hay varios métodos, de los que los másusuales son el mapa de signos y la tabla de signos.

Mapa de signos

Cuando se han determinado los ceros del numerador y del denominador, pueden encontrarse los signos a los lados de cada cero evaluando la fracción en cada intervalo. En realidad no es necesario encontrar el valor de la fracción sino solamente su signo; el signo que tenga en cualquier punto de un intervalo entre ceros será elmismo en cualquier otro punto del mismo intervalo.

Por ejemplo, en la inecuación , donde los ceros son y , empezamos por representar la recta real indicando los ceros:

Luego buscamos un punto de prueba en cada uno de los tres intervalos: a la izquierda de , entre y , y a la derecha de . En cada punto de prueba buscamos el signo de cada uno de los factores de la fracción.

Para empezar, ala izquierda de podemos escoger el punto de prueba . Buscamos los signos de los factores para y encontramos que es negativo y que es también negativo. Entonces la fracción entera tiene signo positivo. Eso lo indicamos así:

Similarmente, para el segundo intervalo tomamos el punto de prueba y encontramos que ahora el numerador es negativo y el denominador positivo, por lo que la fracción esnegativa. Y por último, en el tercer intervalo podemos tomar , donde entontramos un numerador y un denominador ambos positivos. El cuadro de signos ahora luce así:

El último paso es indicar qué sucede en cada uno de los ceros: la fracción puede ser cero (porque el cero vino del numerador) o estar indefinida (porque el cero vino del denominador). Eso se indica con un cero o una equis,respectivamente:

Ahora es momento de recordar la inecuación. Estamos resolviendo

lo que significa que estamos buscando los intervalos donde la fracción sea mayor o igual que cero. En nuestro mapa, por supuesto, mayor que cero se indica con el signo , e igual a cero se indica con . Entonces la solución es fácilmente visible: a la izquierda de , sin incluirlo, y a la derecha de incluyéndolo. En...
tracking img