Rango de una matriz

RANGO DE UNA MATRIZ
[pic]
Llamamos menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera  Am×n  puede haber varios menores de un cierto orden p dado.• Definición 1º
RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
• Definición 2º
RANGO de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puedeestablecer una combinación lineal entre ellas.
P. Ej., si  f1 = 2·f3 - 3·f4, entonces decimos que f1 es linealmente dependiente de f3 y f4.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango o característica de una matriz A se simboliza del siguiente modo :
rang(A) o r(A)
• Operaciones elementales que puedenrealizarse con una matriz para calcular su rango sin que éste varíe
1. Intercambiar dos líneas entre sí.
2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos.
3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra.
4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s
5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero.
6. Sustituir una línea i de este modo : Li = a·Li + b·Lj
7.Sustituir una línea i de este modo : Li = Li + a·Lj
Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7. Sin embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una matriz sin que se modifique el valor de éste.
Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula,cuyo rango es cero.
Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por que ser necesariamente cuadrada.
Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es decir, cuando las filas (columnas) son linealmente independientes.
Diremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismorango.
• cálculo del rango de una matriz
1º Método : basado en el cálculo de menores.
▪ Comenzando por el orden  k=2 , se realiza el proceso siguiente (para una etapa k cualquiera)
▪ Se busca un menor [pic]de orden  k, entonces el rango será [pic]k
▪ Se añade a dicho menor una fila  i , y cada una de las columnas que en él no figuran, obteniéndoseasí menores de orden  k+1. Si todos estos menores son nulos, significa que la fila  i  es combinación lineal de las k  filas del menor anterior, por lo que podemos eliminar esa fila.
▪ Seguimos probando con las restantes filas, si todos los menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene sólo  k  filas linealmente independientes, que son las que aparecen en el menor, y portanto su rango es  k.
▪ Si alguno de los menores  k+1  es distinto de cero, el rango es  [pic]k+1 y repetimos el proceso para otro orden  k  superior.
Ejemplo :
[pic]
Si al elegir un menor de orden 2 nos da 0, elegimos otro, y así sucesivamente hasta elegir todos, si todos son 0, el rango es 1. De la misma forma, cuando elegimos menores de orden 3. 

2º Método : conocido como"método de Gauss"
Se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas). Básicamente consiste en hacer nulos los elementos que hay debajo de los aii con i= 1, 2, 3, ..., m-1 ; y el rango final será el número de filas distintas de cero.
▪ El método consta de  m-1  etapas, siendo  m  el...