Rango y dominio, graficas, funciones.

FUNCIONES
1. DEFINICION – DOMINIO Y RANGO
Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de
todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad para
comprender dicho concepto.
Tenemos una tienda vende camisas a $50 cada una, a partir de este dado completar la tabla y
dibujar la grafica correspondiente de esta relación.
Nº camisas
12
3
4
5
6

Precio
50
100
150
200
250
300

T
60
55
50

T

45
1

2

3

4

5

6

Los datos que aparecen en a tabla siguiente se registraron cada dos horas para medir la
temperatura (en ºF) en una ciudad determinada. Utilizando los datos para trazar una grafica de
T en función del tiempo.
t
0
2
4
6
8
10
2

T
58
57
53
50
51
57
61

T
60
58
56
54
52
50
48
46

T

1

2

3

4

5

6

La grafica de laderecha muestra el eso de una persona como función de su edad. Describe en
el espacio de la izquierda la forma en que su peso ha variado a lo largo del tiempo. ¿Qué
piensas que ocurrió cuando esta persona tenia 30 años?

A partir de los ejemplos anteriores tenemos una idea de por que son importantes las funciones
en todos los campos del ser humano. Por ejemplo, un economista observa el comportamientodel precio de un artículo dependiendo de su demanda; un química se da cuenta del efecto de
un medicamento con el paso del tiempo, y ambos intentan descubrir la regla o función que
relaciona las cantidades en estudio. En la siguiente tabla, los números del reglón superior
están relacionados con los del reglón inferior.

En este caso es fácil observar que existe una regla que relaciona ambosrenglones. Esa regla es
“elevar el numero del renglón superior al cuadrado”. Para identificar apropiadamente esta
regla, es necesario que le demos un nombre particular: llamémosla f. De acuerdo con ello, el
ejemplo anterior puede describirse en estos términos:
f es la regla

“elevar al cuadrado”

Esta regla se puede expresar algebraicamente de dos maneras: usando notación de flechas o
funciones:
ࢌ

࢞ ՜ ࢞૛ó ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢞૛
Nosotros usaremos la notación de funciones, f(x), que se lee “f de x”, porque es mas practica y
fácil.
Por ejemplo, si escribimos f(3), queremos decir: aplicar la regla f a 3. Por lo tanto, f(3) = 32 = 9.
Con todo lo antes dicho, estamos en condiciones de definir función.
FUNCION: es una regla f que asigna a cada elemento X de un conjunto A exactamente un
elemento, llamado f(x), de unconjunto B.

Ejemplos:
1. La función elevar al cuadrado asigna a cada numero real X su cuadrado X2, y se define
como
ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢞૛
Si quisiéramos evaluar ݂ሺെ2ሻ, ݂ሺ5ሻ‫݂ ݕ‬ሺ√5ሻ, obtendríamos los valores sustituyendo x, en
ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢞૛ :
݂ሺെ2ሻ ൌ ሺെ2ሻଶ ൌ 4

݂൫√5൯ ൌ ሺ√5ሻଶ ൌ 5

݂ሺ5ሻ ൌ 5ଶ ൌ 25

Ahora pensemos en la función raíz cuadrada de un número, es decir ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √‫ݔ‬, y
reflexionemos en cuales valoresreales podríamos asignar a X.
Es evidente que estos valores tienen que ser mayores que o iguales a cero, es decir, X ≥ 0.

1.1 DOMINIO
Son los valores que se pueden asignar a la variable X, en el conjunto A generalmente son
números reales.

1.2 RANGO
El símbolo f(x) es el valor de f en x, llamado también imagen de X, bajo f. El rango de f es el
conjunto de todos los posibles valores de f(x) conformeX cambia en todo su dominio.
El símbolo que representa un número arbitrario de valores en el dominio de una función f se
denomina variable independiente, y el correspondiente al rango se llama variable
dependiente. Por ejemplo, en el caso de la grafica del peso de una persona, la edad es la
variable independiente y el peso la variable dependiente.

Ejemplos
2) Definimos g(x) = x2, de forma que eldominio de este en el intervalo 0 ≤ x ≤ 3. Entonces, el
rango estará en:
0 ≤ x2 ≤ 9
3) si ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢞૛ െ ૛࢞ െ ૜, evaluar:
a) f(a)

c) f(a+h)

b) f(-a)

d)

ࢌሺࢇାࢎሻିࢌሺࢇሻ
ࢎ

a) ࢌሺࢇሻ ൌ ࢇ૛ െ ૛ࢇ െ ૜
b) ࢌሺെࢇሻ ൌ ሺെࢇሻ૛ െ ૛ሺെࢇሻ െ ૜ ൌ ࢇ૛ ൅ ૛ࢇ െ ૜
c) ࢌሺࢇ ൅ ࢎሻ ൌ ሺࢇ ൅ ࢎሻ૛ െ ૛ሺࢇ ൅ ࢎሻ െ ૜
ൌ ࢇ૛ ൅ ૛ࢇࢎ ൅ ࢎ૛ െ ૛ࢇ െ ૛ࢎ െ ૜
d)

ࢌሺࢇାࢎሻିࢌሺࢇሻ
ࢎ

ൌ

ሺࢇ૛ ା૛ࢇࢎାࢎ૛ ି૛ࢇି૛ࢎି૜ሻିሺࢇ૛ ି૛ࢇି૜ሻ
ࢎ

ൌ

૛ࢇࢎାࢎ૛ ି૛ࢎ
ࢎ

ൌ

ࢎሺ૛ࢇାࢎି૛ሻ
ࢎ

ൌ ૛ࢇ...