Rango y nulidad

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Rango y nulidad de una matriz
El siguiente ensayo tiene como objetivo desarrollar los conceptos básicos de rango y nulidad de una matriz. El método explicado para obtener el rango de una matrizconsiste en la manipulación elemental en las filas con el fin de obtener una matriz escalonada y luego contar las filas no nulas.
El rango de una matriz es el número máximo de columnas que sonlinealmente independientes (es la dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A) y se escribe rango (A), mientras que la nulidad es el número de vectores independientes ocombinaciones lineales (es la dimensión del espacio nulo de A) y se denota nulidad (A).
Teoremas:
Si es una matriz A con n columnas, entonces: n=Rango (A) + nulidad (A)
Por lo tanto:
Nulidad (A)= n-Rango(A)
El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente:
1) Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma escalonada y para estoutilizaremos el método de gauss-jordan

2) El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).
Ejemplos:
1.-

Rango=3 (porque son losescalones formados)
Nulidad= 5-3= 2
En este caso la nulidad es 2, ya que son 2 las combinaciones lineales independientes en la matriz escalonada.
2.-
Determinar el rango y la nulidad en la siguientematriz:
1 2 0
1 1 -3
1 3 3
1 2 0
1 1 -3
1 3 3

Mediante reducción Gaussiana obtenemos la matriz escalonada:
1 2 0
0 -1 -3
0 00
1 2 0
0 -1 -3
0 0 0
1 2 0
0 -1 -3
0 1 3
1 2 0
0 -1 -3
0 1 3

Rango (A)= 2 (porque son los escalones formados)Nulidad=2-1 =1
El resultado, una combinación lineal independiente.

Como conclusión, el rango y la nulidad en una matriz están muy relacionados entre sí y son parte del teorema Si es una matriz A...
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