APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Rapidez de cambio

La expresión representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite aesta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al conceptode rapidez instantánea.



Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

Ejemplo:

Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

Solución:

Si larelación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a 2

Ejemplo:

Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciendeel nivel del agua?

Solución:

Llamando h a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, se puede expresar el volumen del contenido en función de h de la forma: V = π r2 h despejando h se tiene:

h = en que π y r son constantes, luego derivando resulta:
pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros porminuto (dV/dt) entonces:



Ejercicios:

1. Encuentre la rapidez instantánea de variación del área de un triángulo equilátero con respecto a su perímetro.
Sol.:

2. Un hombre de 1,8 metros de altura se encuentra cerca de un poste con su luz encendida a 4 metros de altura, si el hombre se aleja del poste [continua]

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