APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Rapidez de cambio

La expresión representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentadapor la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denominatambién razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso larazón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.



Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre lasvariables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

Ejemplo:

Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

Solución:

Sila relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a 2

Ejemplo:

Se vierte aguaen un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

Solución:

Llamando h a la altura delnivel de líquido en cualquier momento, se puede expresar el volumen del contenido en función de h de la forma: V = π r2 h despejando h se tiene:

h = en que π y r son constantes, luegoderivando resulta:
pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:



Ejercicios:

1. Encuentre la rapidez instantánea de variación del área de un triánguloequilátero con respecto a su perímetro.
Sol.:

2. Un hombre de 1,8 metros de altura se encuentra cerca de un poste con su luz encendida a 4 metros de altura, si el hombre se aleja del poste con... [continua]

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