Razonamientos

oOo Introducción oOo
Razonamiento

Llamaremos de esta forma a cualquier proposición con la estructura:
P1 ^ P2 ^ · · · ^ Pn −>! Q
Siendo n un entero positivo.

A las proposiciones Pi, i = 1, 2, . . . , n se les llama premisas del razonamiento y a la proposición Q, conclusión del mismo.

Razonamiento Válido

El razonamiento anterior se dice que es válido si la conclusión Q es verdaderacada vez que todas las premisas P1, P2, . . . , Pn lo sean.

Así pues, disponemos de dos formas de probar si un razonamiento es válido.

1. Comprobar que el condicional P1 ^ P2 ^ · · · ^ Pn −> Q es una tautología.
2. Comprobar que P1 ^ P2 ^ · · · ^ Pn => Q.

Ejemplo 1: Estudiar la validez del siguiente razonamiento:

Si Torcuato se casa, entonces Florinda se tira al tren.
Florinda setira al tren siempre y cuando Torcuato no se haga cura.
Por lo tanto, si Torcuato se casa, entonces no se hace cura.

Solución

Sean
p : Torcuato se casa.
q : Florinda se tira al tren.
r : Torcuato se hace cura.

El razonamiento escrito en forma simbólica sería:
[(p −> q) ^ (q¬r)] −! (p −> ¬r)

Veamos si el razonamiento es válido comprobando que es una tautología. Obsérvese que laúnica opción en la que el condicional puede ser falso es que siendo verdad la hipótesis,
(p −> q) ^ (q ¬r)

La conclusión, p −> ¬r sea falsa.

Ahora bien, p −> ¬r es falsa, si p es verdad y ¬r es falso. Por otra parte, para que
(p −> q) ^ (q ¬r)
Sea verdad, han de serlo ambas proposiciones y al ser falso ¬r, q también ha de serlo, por lo tanto la tabla de verdad reducida, será:Luego, en efecto, es una tautología y, consecuentemente, el razonamiento es válido.

Falacia

Llamaremos de esta forma a un razonamiento que no es válido.
Veamos ejemplos de las falacias más habituales.

Ejemplo 2 Estudiar la validez del siguiente razonamiento:

Si el mayordomo es el asesino, se pondrá nervioso cuando lo interroguen.
El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron.Por lo tanto, el mayordomo es el asesino.

Solución

Sean

p : El mayordomo es el asesino.
q : El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron.

El razonamiento escrito en forma simbólica sería:
[(p −> q) ^ q] −> p
Veamos si es una tautología.

La proposición anterior es falsa, ´únicamente si siendo verdad la hipótesis, (p −!> q) ^ q, es falsa la conclusión p. Pero (p −> q)^ q es verdad solo si p −> q es verdad y q también lo es, luego una de las líneas de su tabla de verdad sería:


Por tanto, [(p −> q) ^ q] −> p no es una tautología y el argumento no sería válido, es decir, es una falacia.

Veamos ahora si [(p −> q) ^ q] => p.

Si (p −! q) ^ q es verdad, entonces, p −! q y q son, ambas, verdad, por lo tanto p puede ser verdad o falsa y, consecuentemente, (p−> q) ^ q no implica lógicamente p, es decir el razonamiento no es válido._
oOo Inferencia oOo

Dado que no siempre es factible construir una tabla de verdad para comprobar la validez de un razonamiento (cuando el número de proposiciones es elevado, la tabla puede ser excesivamente larga), utilizaremos únicamente el procedimiento de probar que se da la implicación lógica.

Regla deInferencia

Diremos que la proposición Q se infiere de las proposiciones P1, P2, . . . , Pn si Q es verdad cuando todas las Pi, i = 1, 2, . . . , n lo sean, es decir, cuando P1 ^ P2 ^ · · · ^ Pn => Q. Obsérvese que esto es lo mismo que decir que el razonamiento P1 ^ P2 ^ · · · ^ Pn −> Q sea válido. La escribiremos en la forma siguiente:
P1
P2
...
Pn
.·.Q

El símbolo “.·.” Se lee “por lo tanto”.Reglas de Inferencia más Usuales






















oOo Demostraciones oOo

Es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema.

Métodos de demostración
Demostración Vacía

Una demostración de este tipo se construye estableciendo que el valor verdadero de la hipótesis P es falso.

En efecto, si podemos establecer la falsedad de P, entonces el...