Razones De Cambio Relacionadas

C APÍTULO

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Razones de cambio relacionadas

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Al definir la derivada de una función y D f .x/ en un punto fijo x0 , se explicitó que
f .x0 C h/
h!0
h

f 0 .x0 / D lím

f .x0 /

f .x/
x !x0
x

D lím

donde y D f .x/ f .x0 / D f .x0 C h/ f .x0 / & x D x
variables y & x , respectivamente.
Refiriéndonos a estos incrementos podemos decir que:
El incremento y D f .x/
y.
Elincremento x D x

f .x0 / D f .x0 C h/

f .x0 /
y
D lím
;
x !0 x
x0
x0 D h son los incrementos de las

f .x0 / muestra el cambio que tiene la variable

x0 D h muestra el cambio que tiene la variable x .

De esto se desprende que el cociente

y
f .x/
D
x
x

f .x0 /
f .x0 C h/
D
x0
h

f .x0 /

es una razón de cambio que muestra la razón entre el cambio que tienela variable y & el
cambio que tiene la variable x .
Es decir, es una razón que compara el cambio de la variable y con respecto al cambio de la
variable x .
O sea que es una razón que mide el cambio promedio de la variable y , a lo largo del intervalo
limitado por x0 & x0 C x .

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Esto es, es la razón de cambio promedio de la función y D f .x/ con respecto a x , a lo largo delintervalo con extremos x0 & x0 C x .
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

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Cálculo Diferencial e Integral I

y
nos estamos refiriendo a la razón de cambio promedio de la variable
x !0 x
y cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable x . Podemos decir que con
este límite se busca una razón de cambio instantánea de la variable y con respecto a la variable x .
Es decir,cuando hacemos que la longitud .j x j/ del intervalo limitado por x0 & x0 C x tienda a
cero, “la razón de cambio promedio de y " se convierte en “la razón de cambio instantánea de y ", por
supuesto, con respecto a x .
Ahora bien, al escribir lím

En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t , es usual referirse a la derivada
como una velocidad de cambio, en lugarde decir razón de cambio instantánea con respecto a t . Por
ejemplo:
Si x D

dx
D 0 .t/ es la
dt
.t/ en el instante de tiempo t , que es la velocidad

.t/ es la posición de un móvil en el instante de tiempo t , entonces

velocidad de cambio de la posición x D
instantánea del móvil.

dv
D g 0 .t/ es la
dt
velocidad de cambio de la velocidad v D g.t/ en el instante de tiempo t , quees la aceleración
instantánea del móvil.
Si v D g.t/ es la velocidad de un móvil en el instante de tiempo t , entonces

Supongamos ahora que, en el contexto de un problema, se tiene una función de la que queremos
medir y obtener su razón de cambio (su derivada). Es muy problable que dicha función se encuentre
relacionada con otras funciones cuyas derivadas (razones de cambio) se conozcan. Laestrategia en
este caso consiste en encontrar una relación matemática en donde se relacionen las funciones que
aparezcan en el contexto del problema.
Posteriormente se deriva la expresión matemática mencionada y se obtiene una relación de funciones
y razones de cambio (las que se conocen con las que no se conocen).
Por último se despeja la razón de cambio deseada que estará en términos delas otras razones de
cambio.
Se dice entonces que se tiene un problema de razones de cambio relacionadas.
En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qué es lo que se pide en el
problema? así como, ¿qué es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que
se sabe, procedemos a matematizar el problema.
Ejemplo 7.1.1 Al arrojar una piedra a un estanquede agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas
cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m, éste
aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm=s . ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del círculo formado
por dicha onda?
H ¿Qué se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando
el área...