razones instantaneas

MATE 3013

RAZON DE CAMBIO
INSTANTANEO Y LA DERIVADA
DE UNA FUNCION

Resumen razón de cambio promedio
La pendiente de la recta secante que
conecta dos puntos en la gráfica de una
funciónrepresenta la razón de cambio
promedio en el intervalo (x, f(x)).
Esta razón se puede determinar con el
cociente de diferencias
𝑦2 − 𝑦1
∆ 𝑦
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
=
=
𝑥2 − 𝑥1
∆ 𝑥
ℎ

Razón decambio promedio -aplicaciones
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la
rapidez promedio

a) durante los 2 primeros segundos de la caída
b) del segundo 1 al segundo 2?
si la caídaesta gobernada por la siguiente ecuación
f(t) = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en metros?
5.12   5.10
y
 10.2 m/s

20
t
2

a) los primeros 2 segundos:

y 5.12   5.11
 15.3 m/s
2 1
t
2

b) del segundo 1 al 2:

2

2

Razón de cambio promedio -aplicaciones
(1)Determinar la razón de cambio promedio de
𝑓 𝑥 entre x = -2 y x = -1.

•

𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1

• 𝑓−2 = 9
• 𝑓 −1 = 8

•

9−8
−2−(−9)

=

-1

Razón de cambio promedio -aplicaciones
(2) Determinar la ecuación de la recta secante a
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 3 entre x = -2 y x = -1.
Como larazón de cambio promedio que calculamos en la parte 1
de este ejercicio es la pendiente de la recta secante, tenemos que
y = mx + b
y = -x + b
Sustituimos uno de los puntos:
9 = -(-2) + b
9=2+b9–2=b
b=7
La ecuación de la recta secante es: y = – x + 7 o y = 7 – x

Razón de cambio instantáneo
Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es eltiempo en segundos.
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
• Hasta ahora hemos
mirado razón de cambio
promedio.
• Para mirar la razón de
cambio instantánea,
calculemos la razón decambio promedio en una
vecindad pequeño
alrededor de 2, por la
izquierda.

Razón de cambio instantáneo
Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es...