Razones trigonometricas

Matem´tica 10◦
a

Ejercicios resueltos de trigonometr´
ıa

Resuelve las siguientes ecuaciones para ´ngulos que est´n en el intervalo [0◦ , 360◦ ]
a
e
1. [5 puntos] 4 cos2 θ − 3 = 0.

Soluciones en radianes: S =

π 5π 7π 11π
, , ,
6 6 6
6

4 cos2 θ − 3 = 0

4 cos2 θ = 3
3
cos2 θ =
4
3
4
√
3
cos θ = ±
2
cos θ = ±

Para cos θ =

√

3
2 ,
√

Para cos θ = −entonces θ = cos−1

3
2 ,

√

3
2

= 30◦ , 330◦

entonces θ = cos−1 −

√

3
2

= 150◦ , 210◦

Las soluciones son
S = {30◦ , 150◦ , 210◦ , 330◦ } =

π 5π 7π 11π
, , ,
6 6 6
6

2. [15 puntos] 2 sen3 y = sen y − sen2 y. Soluciones en grados: S = {0◦ , 30◦ , 150◦ , 180◦ , 270◦ , 360◦ }

2 sin3 y = sin y − sin2 y

2 sin3 y + sin2 y − sin y = 0

sin y(2 sin2 y + sin y −1) = 0, factor com´n
u

sin y(2 sin y − 1)(sin y + 1) = 0, factorizaci´n ax2 + bx + c
o
Para sin y = 0, entonces θ = sin−1 (0) = 0◦ , 180◦ , 360◦
1
Para 2 sin y − 1 = 0, entonces θ = sin−1 2 = 30◦ , 150◦
Para sin y + 1 = 0, entonces θ = sin−1 (−1) = 270◦
Las soluciones son
S = {0◦ , 30◦ , 150◦ , 180◦ , 270◦ , 360◦ }
Resuelve los tri´ngulos ∆ABC, de acuerdo a la informaci´n dada.
a
o3. [5 puntos] a = 9 m, b = 10 m y ∠A = 32◦ .
Soluciones: ∠B = 36,072◦ ,
o
´ ∠B =36◦ 4’18.63”
JLPA

c = 15,755,

∠C = 111,928◦
c = 15,7549952
1

∠C =111◦ 55’4.13”
2009

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a

Ejercicios resueltos de trigonometr´
ıa

Apliquemos la Ley del Seno, ya que nos han dado un ´ngulo ∠A y su lado opuesto a
a
b
sin B

=

a
sin A

B = sin−1
B = sin−1

b sin A
a10 sin 32◦
9

B = 36,072◦
B = 36◦ 4’18.63”
sin−1

10 sin 32◦
9

= arcsin

10
9

8
sin 45 π = 0,629 57 × 180/π = 36,072

C = 180 − A − B

= 180 − 32 − 36,072

= 180 − 32 − 36,072
= 111,928◦

= 111◦ 55’4.13”

a · sin C
sin A
9 · sin 111,928◦
=
sin 32◦
c = 15,755
c =

4. [5 puntos] a = 20 km, b = 18 km.y ∠C = 48◦ .
Soluciones: c = 15,564 km,

∠A = 72,74◦ ,

o´ c = 15,564 km

∠B = 59,26◦

∠A =72◦ 44’27.36”

∠B =59◦ 15’32.64”

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
c =

=

a2 + b2 − 2ab cos C

202 + 182 − 2 × 20 × 18 cos 48◦

c = 15,564 km

b2 + c 2 − a 2
2bc
b2 + c2 − a2
A = arc cos
2bc
2 + 15,5642 − 202
18
A = arc cos
2 × 18 × 15,564
◦
A = 72,74 = 72◦ 44’27.36”

cos A =

JLPA

2

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Ejercicios resueltosde trigonometr´
ıa

B = 180◦ − A − C

= 180◦ − 72,74◦ − 48◦

B = 59,26◦ = 59◦ 15’32.64”
Exprese la ecuaci´n dada en forma ordinaria la (x − h)2 + (y − k)2 = r2 y encuentre las coordenadas del
o
centro y la longitud del radio.
5. [10 puntos] x2 + y 2 − 4x − 2y − 5 = 0
o
Soluciones: Ecuaci´n: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10, C(h, k) = (2, 1), r =

(x2 − 4x +

√

10

x2 + y 2 − 4x − 2y− 5 = 0

2

) + (y 2 − 2y +
2

2

) = 5, agrupemos las x y las y

2

(x − 4x + 2 ) + (y − 2y + 1 ) = 5 + 4 + 1, completemos cuadrados

(x − 2)2 + (y − 1)2 = 10, factorizamos Trinomio Cuadrado Perfecto

Ecuaci´n: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10
o

C(h, k) = (2, 1)

r=

√

10

En Colombia, las placas de los autos se codifican empleando 3 letras que indican la ciudad donde fueexpedida dicha placa. Adem´s se asignan 3 d´
a
ıgitos para diferenciar los autos. Las letras utilizadas son 27.
6. [5 puntos] ¿Cu´ntas placas de autos pueden codificarse en Colombia?
a
Soluci´n: 19683000 placas
o
= 27 × 27 × 27 × 10 × 10 × 10

= 273 × 103

= 1. 9683 × 107

= 19683000

7. [10 puntos] ¿Cu´ntos placas empiezan con BA y terminan con 0?
a
Soluci´n: 2700 placas.
o
= 1 ×1 × 27 × 10 × 10 × 1
= 2700 placas

8. [10 puntos] ¿En cu´ntas placas aparecen los d´
a
ıgitos 1, 2 y 3?
Soluci´n: 118098 placas
o
Los d´
ıgitos 1, 2 y 3 aparecen de 3! = 6 formas y cada letra se puede escoger de 27.
= 27 × 27 × 27 × 6
= 273 × 6

= 118098 placas
JLPA

3

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9. [5 puntos] ¿En cu´ntas placas...