Razones trigonométricas

Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razonestrigonométricas del ángulo en la forma:

Seno sen a = ordenada / radio = y / r

Coseno cos a = abscisa / radio = x / r

Tangente tg a = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x

Cotangentecotg a = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y

Secante sec a = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x

Cosecante cosec a = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y

Signo de las razones. En cadacuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:

Ángulos notables.

30º Para determinar sus razones tenemos en cuenta que se formaun triángulo equilátero:

sen 30º = y/r= (r/2) / r = 1/2

cos 30º = x/r= 3½ / 2

r2=x2+(r/2)2=x2+r2/4 x=(3r2/4)½=r3½/2

tg 30º=(1/2)/(3½/2)= 3½ / 3

60º Formamos el triángulo equilátero de la figura:

sen 60º= y/r= (r 3½ / 2)/r= 3½ / 2

r2 = y2 + ( r/2)2

y = ( r2-r2/4)½ = ( 3 r2 / 4 )½ = r 3½ / 2cos 60º= (r/2)/r = 1 / 2

tg 60º = (3½ / 2)/(1/2) = 3½

45º La x y la y son iguales, por lo que se forma un triángulo isósceles:sen 45º = y/r = 2½ / 2

r2 = x2 + y2 = 2 y2

y=(r2/2)½=r(2½)/2

cos 45º= x/r = y = 2½ / 2

tg 45º = sen 45º / cos45º = 1

Relaciones entre las razones trigonométricas.

1.- Teorema fundamental.

sen a = y / r de donde y = r sen a

cos a = x / r de donde x = r cos a

como segúnPitágoras: x2+y2=r2 tenemos que r2cos2a + r2sen2a=r2

es decir: cos2a + sen2a = 1

2.- Dividiendo el teorema fundamental entre sen2:

1 + cos2a / sen2a = 1/ sen2a...