razones

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Centro de Alumnos de Ingenier´ 2009
ıa
Preuniversitario de Ingenier´
ıa

´
Algebra
Gu´ No 5
ıa

RAZONES Y PROPORCIONES
1.

Raz´n
o

Cuando comparemos 2 magnitudes mediante una divisi´n diremos que
o
esas 2 magnitudes se encuentran en una raz´n. Por ejemplo, sean a y b dos
o
cantidades, entonces una raz´n entre a y b es
o
a
a : b =, y lo leeremos a es a b.
b
Ejemplo 1 Supongamos que se realiz´ una encuesta entre los j´venes entre
o
o
18 y 21 a˜os cuya conclusi´n es: ”1 de cada 5 j´venes est´ inscrito en el
n
o
o
a
Registro Electoral”. Entonces, podemos decir que la raz´n entre los que votan
o
y el total de j´venes es 1 : 5. Tambi´n podemos decir que la raz´n entre los
o
e
o
que votan y los que no, es 1 : 4.Como vimos antes, ya que las razones son n´ meros racionales, entonces
u
podemos amplificarla y simplificarla como nosotros queramos mientras se
mantenga la raz´n.
o
Ejemplo 2 Supongamos que queremos expresar los no votantes del ejemplo anterior con respecto al total. Entonces podemos hacerlo de todas estas
formas
4
8
12
16
4k
=
=
=
= ... =
.
5
10
15
20
5k
Dentro de la PSU,hay muchas razones en los enunciados, por lo tanto, es
vital poder manejarlas con facilidad. Veamos m´s casos.
a
Ejemplo 3 Las edades de 2 personas est´n en la raz´n 4 : 7. ¿Qu´ edad
a
o
e
tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 a˜os?
n
Digamos que la primera persona tiene 4k a˜os, para alg´n k ∈ Z. Entonces,
n
u
la segunda persona tendr´ 7k a˜os. Luego, como ladiferencia de sus edades
a
n
es 15 a˜os, entonces 15 = 7k −4k = 3k de donde podemos concluir que k = 5.
n
Por lo tanto, las edades de las personas son 20 y 35 a˜os, respectivamente.
n
Ejemplo 4 Un angulo de 90o es dividido en 3 angulos que se encuentran
´
´
en la raz´n 4 : 5 : 9, ¿Cu´l es la medida de los angulos?
o
a
´
Llamemos α, β y γ a los angulos. Digamos que α = 4k o , para alg´n k ∈ Z.´
u
Entonces, β = 5k o y finalmente γ = 9k o . Luego, como deben sumar 90o ,
entonces 90 = 9k + 5k + 4k = 18k de donde podemos concluir que k = 10.
Por lo tanto, las medidas de los angulos son 20 o , 25o y 45o , respectivamente.
´
1

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Centro de Alumnos de Ingenier´ 2009
ıa
Preuniversitario de Ingenier´
ıa

2.

´
Algebra
Gu´ No 5
ıaProporciones

Cuando tengamos 2 razones igualadas diremos que tenemos una proporci´n entre ambas razones. Por ejemplo, sean a, b, c y d cuatro magnituo
des, entonces una proporci´n entre ambas razones es
o
a
c
= , y lo leeremos ”a es a b como c es a d”.
b
d
Ejemplo 5 Se sabe que x es a 10 como 12 es a 15, entonces x =?
Aplicando lo anterior, podemos resumir el problema en la igualdad12
4
4 · 10
x
=
= ⇒x=
= 4 · 2 = 8.
10
15
5
5

2.1.

Proporcionalidad Directa

Supongamos que vamos por la carretera camino a Vi˜ a del Mar y siemn
pre a 120 km/h. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia
y el tiempo. Como sabemos, mientras m´s tiempo haya transcurrido desde
a
que partimos nuestro viaje, m´s distancia habremos recorrido, es decir, a
a
medidaque aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera,
el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y Vi˜ a del Mar.
n
Esta relaci´n se conoce como proporcionalidad directa, si una variable
o
aumenta (disminuye), entonces la otra variable tambi´n aumenta (dismie
nuye) en la misma proporci´n.
o
Ejemplo 6 En el ejemplo anterior,
lasvariables distancia recorrida y el
tiempo transcurrido podemos llevarlas
a una tabla para analizar su proporcionalidad.

Distancia (km)
0
30
60
120

Tiempo (hr)
0
0, 25
0, 5
1

La clave de una proporcionalidad directa, es que la raz´n entre ambas variao
bles se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente
de como cambien las variables, se conoce como...