Recta Derivada Y Tangente

Derivada


1. Pendiente de la recta tangente a una curva

1.1. Definiciones b´asicas

Dada una curva que es la grafica de una funci´on y = f (x) y sea P un punto sobre la curva. La pendiente de la recta tangente a la curva en P es el l´ımite de las pendientes de las rectas que pasan por P y otro punto Q sobre la curva, cuando Q se acerca a P .y






























































X




.

Ejemplo: Sea y = f (x) = 1 x2. Queremos determinar la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1 ).
En general, la abscisade un punto cercano a (1, 1 ) se puede escribir como 1 + h, donde
h es algu´n nu´mero pequen˜o, positivo o negativo, pero h ≠ 0 y f (1 + h) = 1 (1 + h)2 =
1 2 1 2
1/3 (1 + 2h + h² ), entonces el punto (1 + h, 1/3(1 + h)² ) est´a sobre la curva.











(1;1/3)






Si h > 0, entonces 1 + hestá a la derecha de 1.
Si h < 0, entonces 1 + h
está a la izquierda de 1.


es:
En cualquiera de los dos casos, la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos
1/3(1+2h+h²)-1/3 1/3 (2h+h²)
1/3 (1+h)-1 h 1/3(2+h)






A medida que el nu´mero htiende a cero, el punto (1 + h, 1 (1 + 2h + h2)) se acerca al punto (1, 1 )Cuando h tiende a cero, la pendiente de la recta tangente a la curva en (1,⅓)tiende a ⅔.


1.2. Cociente de Newton

Dada una función f (x), su cociente de Newton es:


f (x + h) − f (x)
h

Este cociente es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f (x)) y
(x + h,f (x + h))







F(x+h)



F(x)





X x+h



En el caso del ejemplo anterior el cociente de Newton en el punto (1, 1 ) es:

3 (1 + h) − 3
h
1
= (2 + h)
3

El cociente de Newton en unpunto cualquiera (x, f (x)) es

3 (x + h)
− 3 x =
3 h(2x + h) = 1 (2x + h)
h h 3

2. Derivada de una funci´on

Si el cociente de Newton tiende a un l´ımite cuando h tiende a 0, entonces se define la derivada de f en x como este l´ımite, esto es:

f (x + h) − f (x)



Notacion:
derivada de f en x = l´ımh→0 h
df f 0(x) =
dx

= l´ım
h→0
f (x + h) − f (x)
h

2.1. Derivabilidad

Una funci´on f es se dice derivable en c si existe f 0 (c).
Una función f es se dice derivable en un intervalo abierto (a, b)
o´ (−∞, a) ´o (−∞, +∞) si es derivable en todos los puntos del intervalo.

Ejemplos:
o´ (a, +∞)


a)Analizar en que puntos la funci´on u(x) = |x| =
x si x ≥ 0
−x si x < 0

es derivable
u(x) (funci´on valor absoluto) tiene por dominio a todos los nu´meros reales. Con
respecto a su derivada:
para valores de x en (0, +∞) la derivada existe y es u0(x) = 1 para valores de x en (−∞, 0) la derivada existe y es u0(x) = −1
Pero veamos que no existe la derivada para x =0:


l´ım
u(0 + h) − u(0)

= l´ım
|h| − 0

= l´ım
|h|
h
= l´ım = 1
h→0+

l´ım
h
u(0 + h) − u(0)
h→0+

= l´ım
h
|h| − 0
h→0+

= l´ım
h
|h|
h→0+ h
= l´ım −h


= −1
h→0− h
h→0− h
h→0− h
h→0− h

Como los l´ımites para h → 0 por derecha y por izquierda son distintos, entonces
u(0 + h) − u(0)
no...