Rectas en el espacio




Foro #3: Cálculo II

Alumno: Ricardo Barrera Herrera

Profesor: Antonio Tamargo H.

Año: 2014


Para determinar un plano se necesitan un punto Po (xo, yo, zo) y un vector normal alplano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:
A(x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)
Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo
Ecuaciones paramétricas de larecta
Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continúas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuacionesparamétricas se tiene:


Dos planos en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas o secantes. Veamos como definimos el ángulo entre ellos en cada caso:
Si los dos planos son coincidentes o paralelos,forman un ángulo de 0∘.
Si los dos planos son secantes, determinan cuatro ángulos diedrales, iguales dos a dos. El más pequeño se define como ángulo entre los planos.
Para calcular el ángulo entreambos planos, lo que haremos será determinar el ángulo entre los vectores normales de cada plano.
Para ello conviene recordar que dado un plano π de ecuación π: Ax+by+cz+D=0, un vector perpendicular adicho plano (vector normal al plano) es n⃗ =(A, B, C)
Así, si tenemos:
π1 plano con vector normal n⃗ 1.
π2 plano con vector normal n⃗ 2.
Entonces:

Por tanto,

Si como hemos dicho antestomamos:
n⃗ 1=(A1,B1,C1)
n⃗ 2=(A2,B2,C2)
La fórmula anterior queda:




Vector normal
El vector es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x0, y0, z0) es un puntodel plano, el vector es perpendicular al vector, y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vectornormal.



EJEMPLO:
Dados los puntos A (2, 6, −3) y B (3, 3, −2), hallar los puntos de la recta AB que tienen al menos una coordenada nula.











EJEMPLO:
Dados los planos:...