Rectas y planos en el espacio

Planos y rectas en el espacio










Una recta es un conjunto de puntos en el plano, y un conjunto tal de puntos es la gráfica del conjunto de soluciones de una ecuación.
La ecuación paramétrica de la recta que pasa por w y v es la siguiente:
u= v+t(w-v)
Sea u=(x, y, z) v=(x1, y1, z1) w=( x2, y2, z2)
Entonces
(x, y, z)= (x1, y1, z1) + t(x1-x2, y1-y2, z1-z2)
De donde sededuce la ecuación paramétrica cartesiana de la recta:
x= x1 + t(x2 - x1)
y= y1 + t(y2 – y1)
z= z1 + t(z2 - z1)
Despejando t de las ecuaciones paramétricas se obtienen las ecuaciones simétricas.
Ejemplos:
Obtenga las ecuaciones simétricas de la recta L que pasa por el punto S(3,-1,4) y que es paralela a la recta cuyas ecuaciones simétricas son:

Los números directores de L son 1, -2 y 4;entonces se obtiene:


Obtener la ecuación de la recta que, siendo paralela la recta dada por x = 3λ, y = λ, z = 2λ + 2, contiene al punto P(0, 1, −1)



Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva la dirección del vector j


Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (−1, 2, 1) y cuyo vector director esUn plano P está compuesto por todas las rectas que son perpendiculares a la recta L en el punto S de L.
La ecuación cartesiana del plano es la siguiente:
Ax + By +Cz + d = 0
El punto (x1, y1, z1) pasa por el plano Ax + By +Cz + d = 0 sii
Ax1 + By1 +Cz1 + d = 0
Dos planos son paralelos si (A1 , B1, C1) ● (A2, B2, C2)= ±1
Dos planos son perpendiculares si (A1 , B1, C1) ● (A2,B2, C2)= 0
Dos planos se intersectan si (A1 , B1, C1) ● (A2, B2, C2) ≠0
Ejercicios:
Obtenga una ecuación cartesiana del plano P que pasa por el punto S(2,3,-1) y que tiene vector n(1,3,2) como vector normal.
Sea u(x,y,z) cualquier punto del plano P entonces:
(u-s)●n=0
u●n - s●n = 0
(x,y,z)●(1,2,3) – (2, 3, -1)●(1,2,3) = 0
x+ 3y + 2z –(2+9-2) = 0
x + 3y +2z -9 = 0
Hallar la ecuación delplano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta




Una recta es paralela a los planos x + y = 0, x + z = 0 y pasa por por el punto (2, 0, 0). Hallar sus ecuaciones.




Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación:

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector



Hallar la ecuación dela recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano: x − y – z + 2 = 0.
Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano, , será el vector director de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).

Hallar las coordenadas del punto común al plano x + 2y − z − 2 = 0 y a la recta determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector .




Coordenadas cilíndricasy esféricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.









Están dadas por (ρ, φ, z)
Relación con coordenadas cartesianas (x, y , z)

ρ cos(φ)= x ρ sen(φ)=y
z=z
Ejercicios:
Cambiar de coordenadascilindricas a cartesianas el siguiente punto: (3,π/2 ,1).
x = 3cos(π/2) = 0, y = 3sen(π/2) = 3 , z = 1.

Cambiar de coordenadas rectangulares a cilíndricas el punto (-1, 0, 0)
r = = 1, θ = π, z = 0.
Cambiar de coordenadas rectangulares a cilíndricas el punto (, 1,4 )
r = = 2, z = 4. Para encontrar θ se tiene
x = rcosθ. Entonces √3 = 2cosθ. Por tanto cosθ =√3/2 Entonces ϴ =π/6
Obtenga unaecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en coordenadas cilíndricas:
r = 6Senϴ.
r2= 6rSenϴ
x2 + y2 = 6y.
x2 + (y - 3)2 = 9
Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie cuya ecuación se ha dado en coordenadas cartesianas: x2 – y2 = z.
x2- y2 = z.
r2Cos2ϴ - r2Sen2ϴ = z.
Cos2ϴ - Sen2ϴ = Cos2ϴ.
r2 cos2ϴ = z.
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