Rectas

Páginas: 5 (1078 palabras) Publicado: 20 de julio de 2015
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Unidad 2 : VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Tema 2.5 : Ecuaciones de Rectas y Planos
(Estudiar la Sección 12.5 en el Stewart 5ª Edición y hacer la Tarea No. 8)

Ecuaciones de la recta que pasa por el punto P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) en la dirección del

r

vector v = a, b, c , en donde a,b y c se llaman números directores y el vector v se
llama el vector director de la recta.

Ecuaciones

EcuaciónVectorial
r r r
r = r0 + v t

Paramétricas

Ecuaciones Simétricas

x = x0 + at

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
=t
a
b
c

y = y0 + bt
z = z 0 + ct

Dos rectas L1 y L2, con vectores directores v1 y v2, son paralelas si v2=k v1. Si no
son paralelas puede ser que se intercepten en un punto o que no lo hagan. Si no son
paralelas ni se interceptan se dice que son oblicuas o sesgadas.
Ecuaciones del planoque pasa por el punto P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) , y es perpendicular al

r

vector normal n = a, b, c

Ecuación Vectorial
(rr − rr0 ) ⋅ nr = 0
Ecuación Lineal

Ecuación Escalar
a ( x − x0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0

ax + by + cz = d
Ejercicios de práctica
E1.- (a) Encuentre la ecuación vectorial y (b) las ecuaciones paramétricas y (c)
simétricas de la recta que pasa por el punto (5,1,3) y esparalela al vector

iˆ + 4 ˆj − 2kˆ , y (d) encuentre otros dos puntos sobre la recta.
E2.- (a) Encuentre las ecuaciones paramétricas y (b) simétricas de la recta de la
recta que pasa por los puntos (2,4,−3) y (3,−1,1) . (c) ¿En que punto intercepta la
recta al plano xy?

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E3.- Muestre que las rectas L1 y L2 se interceptan en un punto y determine el punto
de intercepción

L1 :

x −1 y z −1
xy+2 z+2
= =
= t ; L2 :
=
=
=s
2
1
4
1
2
3

E4.- (a) Determine la ecuación lineal del plano que pasa por el punto P0 (2,4,−1) y

r

es perpendicular al vector n = 2,3,4 , (b) Determine las intercepciones con los ejes,
(c) determine las trazas con los planos de coordenadas, y (d) dibuje el plano.
E5.- Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos:

P(1,3,2 ), Q(3,−1,6 ), R(5,2,0 )
E6.-Encuentre el punto en donde la recta x = 2 + 3t , y = −4t , z = 5 + t intercepta
al plano 4 x + 5 y − 2 z = 18
E7.- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta de intercepción de los dos
planos: x + y + z = 1 ; x − 2 y + 3 z = 1
Respuestas a los ejercicios:

r
R1 : r = 5,1,3 + t 1,4,−2 = 5 + t ,1 + 4t ,3 − 2t = (5 + t )iˆ + (1 + 4t ) ˆj + (3 − 2t )kˆ
(b) : x = 5 + t ;

y = 1 + 4t ; z = 3 − 2t

y−1 z − 3
=
=t
4
−2
(d ) : t = 1 → (6,5,1) ; t = 2 → (7,9,−1)

(c ) : x − 5 =

R2 :

(a )

x=2+t ;

y = 4 − 5t ; z = −3 + 4t

y−4 z+3
=
−5
4
 11 1 
(c)  , ,0 
4 4 

(b )

x−2=

R3 : se int ercep tan en (1,0,1)
R 4 : 2 x + 3 y + 4 z = 12 ;
2 x + 3 y = 12 , 3 y + 4 z = 12 , 2 x + 4 z = 12
(0,0,3) , (0,4,0) , (6,0,0)
R7 : x = 1 + 5t ,

y = −2t ,

z = −3t

R5 : 6 x + 10 y + 7 z = 50
R6 : P(−4,8,3)

25

Ecuaciones de Rectas
r
v = a , b, c

vector director

z

r
r
r (t ) = r0 + v t

vt
P(x0,y0,z0)

Ecuación Vectorial

P(x,y,z)
v

x = x0 + at 
  Ecuaciones
y = y0 + bt  
 Paramétricas
z = z 0 + ct 

r

r0
y
x

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
=t
a
b
c
Ecuaciones Simétricas

Ecuaciones de Planos
n

r
n = a, b, c

z

P(x0,y0,z0)

r-r0

P(x,y,z)
r

(rr − r0 ) ⋅ nr = 0

Ecuación Vectorial

a( x − x0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0

r0

Ecuación Escalar del Plano
y

x

vector normal

ax + by + cz = d
Ecuación Lineal del Plano

26

Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 8 : Ecuaciones de Rectas y de Planos
1

Encuentre una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para la recta que
pasa por el punto (− 2,4,10 ) y es paralela al vector 3,1,−8

2

Encuentre unaecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para la recta que
pasa por el punto (1,0,6) y es perpendicular al plano x + 3 y + z = 5

3

Encuentre ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas para la recta que
pasa por los puntos (3,1,−1) y (3,2,−6 )

4

Determine si las rectas L1 y L2 son paralelas, oblicuas o se cortan. Si se cortan,
encuentre el punto de intersección.

L1 : x = −6t ,
5

6

7...
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