Redes bayesianas

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Redes Bayesianas
1 Presentación intuitiva
Antes de presentar formalmente la teoría matemática de las redes bayesianas, explicaremos mediante ejemplos sencillos1 el significado intuitivo de los conceptos que después introduciremos En una red bayesiana, cada nodo corresponde a una variable, que a su vez representa una entidad del mundo real. Por tanto, de aquí en adelante hablaremosindistintamente de nodos y variables, y los denotaremos con letras mayúsculas, como X. Utilizaremos la misma letra en minúscula, x, para referirnos a un valor cualquiera de la variable X. Los arcos que unen los nodos indican relaciones de influencia causal. Ejemplo 1.

La red bayesiana más simple

La red bayesiana no trivial más simple que podemos imaginar consta de dos variables, que llamaremos X e Y1, yun arco desde la primera hasta la segunda.
X Y1

Para concretar el ejemplo, supongamos que X representa paludismo e Y1 representa gota gruesa, que es la prueba más habitual para detectar la presencia de dicha enfermedad. Cuando X sea una variable binaria, denotaremos por +x la presencia de aquello a lo que representa y por ¬x a su ausencia. Así, por ejemplo en este caso +x significará “elpaciente tiene paludismo” y ¬x “el paciente no tiene paludismo; +y1 significará un resultado positivo del test de la gota gruesa y ¬ y1 un resultado negativo. La información cuantitativa de una red bayesiana viene dada por: • • La probabilidad a priori de los nodos que no tienen padres. La probabilidad condicionada de los nodos con padres.

Una red bayesiana consta de nodos, enlaces y parámetrosLos datos numéricos necesarios son: • Probabilidades a priori de nodos sin padres • Probabilidad condicionada de los demás

Por tanto, en nuestro ejemplo, los datos que debemos conocer son P(x) y P(y1/x). Así, la red bayesiana completa sería:
X
P(+x) = 0.003

Y1
P(+y1/+x)= 0.992 P(+y1/¬x)= 0.0006

Estos ejemplos están tomados de “Apuntes de razonamiento aproximado” de Francisco JavierDíez.

1

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Veamos qué significado tienen en este caso estos valores: • P(+x) = 0.003 indica que, a priori, un 0.3% de la población padece el paludismo. En medicina, esto se conoce como prevalencia de la enfermedad. P(+y1/+x) = 0.992 indica que cuando hay paludismo, el test de la gota gruesa da positivo en el 99.2% de los casos. Esto se conoce como sensibilidad del test. P(+y1/¬x) = 0.0006indica que, cuando no hay paludismo, el test de la gota gruesa da positivo en el 0.06% de los casos, y negativo en el 99.94%.A esta segunda probabilidad se la llama especificidad del test.





En medicina siempre se buscan las pruebas con mayor grado de sensibilidad y especificidad. Alternativamente, se habla también de las tasas de falsos positivos (probabilidad de que el test de positivo sila persona no está enferma) y tasas de falsos negativos (probabilidad de test negativo cuando la persona está enferma). Conociendo estos datos, podemos calcular: a) La probabilidad a priori de Y1, P(+y1) = P(+y1/+x) P(+x) + P(+y1/¬x) P(¬x) = 0.00357. P(¬y1) = P(¬y1/+x) P(+x) + P(¬y1/¬x) P(¬x) = 0.99643. b) Las probabilidades a posteriori dada una evidencia observada e, P*(x) = P(x/e). Supongamosque el test de la gota gruesa ha dado positivo. ¿Qué probabilidad hay ahora de que la persona padezca la enfermedad?. Si la prueba tuviese fiabilidad absoluta, esta probabilidad sería del 100%. Pero como existe la posibilidad de que haya habido un falso positivo, buscamos P*(+x) = P(+x/+y1). Para calcularla, podemos aplicar el teorema de Bayes: P*(+x) = P(+x/+y1) =
P(+x) P(+y 1 / + x) 0.0030.992= = 0.83263 P(+ y 1 ) 0.00357

Asociados a un test tenemos dos parámetros: • Sensibilidad (probabilidad de resultado positivo si enfermo) • Especificidad (probabilidad de resultado negativo si no enfermo)

Con la prevalencia, la sensibilidad y la especificidad, es posible calcular la probabilidad de que un paciente esté enfermo según el resultado de su test

Es decir, de acuerdo con el...
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