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TALLER 2 DE MATEMATICA II
PROGRAMA DE ADMINISTRACION INDUSTRIAL
Robinson Gelvis
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
Operaciones con límites
{text:bookmark-start} Límite de la suma{text:bookmark-end} o la diferencia
El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos. *limx*->*a*f*(x) +*g(x) = b + c
DEMOSTRACION
Queremosprobar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε.
Sea ε' = ε/2
limx->af(x)=b => para todo ε' > 0 existe δ1 > 0 / para todo x pertenecienteal E*a,δ1 |f(x) - b| < ε'.
limx->ag(x)=c => para todo ε' > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 |g(x) - c| < ε'.
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ secumple:
|f(x) - b| < ε'
|g(x) - c| < ε'
=> |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε
|(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| af(x) + g(x) = b + c
Límite del productoDemostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ |f(x).g(x) - b.c| < ε.
limx->af(x) = b => para todo Eb,ε1 existe Ea,δ1 / para todo x pertenecienteal Ea,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε1.
limx->ag(x) = c => para todo Ec,ε2 existe Ea,δ2 / para todo x perteneciente al Ea,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε2.
limx->af(x) = b => existe δ3 > 0 y k > 0 / paratodo x perteneciente al E*a,δ3 |f(x)| < k.
ε ε
Sea ε1 = --- , ε2 = ---
2|c| 2k
ε ε
|f(x) - b| < --- => |c||f(x) - b| < --- (1)
2|c| 2
ε ε
|g(x) - c| < --- => k|g(x) - c| < --- (2)2k 2
ε
|f(x)| < k => (de 2) |f(x)||g(x) - c| < --- (3)
2
Sea δ = min {δ1,δ2}
De 1) y 3): para todo x perteneciente al E*a,δ
|c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε
|f(x)g(x) -bc| = |f(x)g(x) - bc + f(x)c - f(x)c| = |c(f(x) - b) + f(x)(g(x) - c)| *limx*->*a*f*(x)*.*g(x) = *b*.*c
Límite del cociente
El límite de un cociente de dos funciones que tienen límite finito...
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