Regla de Bayes

Regla de Bayes
El Teorema o Regla de Bayes nos brinda un método para contestar algunas preguntas muy importantes.
En su esencia, esta regla nos indica cuál información es necesaria tener y el método para invertir la
condición cuando calculamos una probabilidad condicional: si A y B son eventos y conocemos
P(A | B), P(B), P(A | Bc), entonces podemos calcular P(B | A). La necesidad de calcular esteúltimo valor
a partir de la información disponible es imprescindible para entender las consecuencias de algunas de
nuestras decisiones.
En esta sección estudiaremos varios ejemplos que luego generalizaremos para obtener formalmente la
regla de Bayes. Esto ejemplos a su vez ilustrarán cuán importante y somunes son las situaciones donde
es necesario usar esta regla. En muchas ocasiones nos hacemospreguntas sobre temas que no están, a
primera vista muy relacionados entre sí. Sin embargo, luego de un análisis ponderado, comenzamos a
notar que las respuestas o los métodos para obtenerlas guardan algunas relaciones entre sí.
Ejemplo 1
Considera una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir sus botellas. En esa fábrica
se producen 10,000 botellas al día. La máquina A produce6,500 botellas diarias de las cuales el 2% son
defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas.
Pregunta
El inspector de calidad de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa.
¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la máquina A?
Para visualizar mejor los datos, los organizamos en un diagramade árbol. Denotamos por A el evento de
que la botella seleccionada haya sido producida por la máquina A y por B el evento de que haya sido
producida por la máquina B. El evento de que la botella seleccionada sea defectuosa se denota por D, su
complemento Dc representa una botella que no es defecuosa.
Comienzo

Máquina
.02

Botella
D

Resultados
A∩D

.65

.98

Dc

A∩Dc

.35

.01

D

B∩D

.99

DcB∩Dc

A

B

La probabilidad de que una botella cualquiera haya sido producida por la máquina A es .65, pues de las
10,000 producidas, 6,500 son producidas por A. Nos interesa calcular P(A | D), la cual no se puede
obtener de forma directa de los datos o del árbol que los representa. Para esto recurrimos directamente a
la definición de probabilidad condicional: P( A | D) = P(A∩D) / P(D).
Lascantidades P(A∩D) y P(A) se pueden obtener del árbol. Para que una botella seleccionada al azar
sea una defectuosa producida por la máquina A, debemos seleccionar primero la máquina A y de las
botellas producidas allí seleccionar una defectuosa. Tenemos que P(A∩D) = P(A) P( D | A), lo que
equivale a hacer la travesía en el árbol desde su raíz o comienzo hasta la hoja donde obtenemos el
resultado A∩D. AsíP(A∩D) = .65 × .02.
C:\My Documents\Cursos\M 5001\1.04.Teorema de Bayes.doc

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Para encontrar P(D) debemos darnos cuenta que una botella
defectuosa puede ser producida de la máquina A o de la B.
Si examinamos las hojas del árbol, vemos que hay dos
lugares donde obtenemos una botella defectuosa, A∩D o
B∩D. Esto equivale a hacer una travesía por uno de caminos
en el árbol. Estos caminos sonmutuamente excluyentes,
pues si caminamos por uno no podemos estar caminando por
el otro. Según se muestra en la figura de al lado, el evento
D = (A∩D) ∪ (B∩D) y su probabilidad es entonces
calculada P(D) = P(A∩D) + P(B∩D).

BDc
ADc

Defectuosas
AD BD

Máquina A

Máquina B

Figura 1 Partición de las botellas
defectuosas de acuerdo a la máquina

El primero de estos términos P(A∩D) ya había sidocalculado. El segundo se obtiene de forma similar. Obtenemos entonces que P( B∩D) = P(B) P(D | B).
Uniendo estos resultados tenemos que P(D) = P(A) P( D | A) + P(B) P(D | B). Finalmente podemos
calcular la probabilidad deseada:

6,500
× .02
P(A) P( D | A)
.013
10,000
P( A | D ) =
=
=
= .788
P( D | A)P(A) + P(D | B)P(B)  6,500
  3,500
 .013 + .0035
× .02  + 
× .01

 10,000
  10,000

Esto...