Regla de la cadena de funciones de varias variables

Sea z = f (x, y) una funci´n continuamente diferenciable y suponga que x = r cos θ
o
e y = r sin θ, muestre que
∂ 2z ∂ 2z
∂ 2z
1 ∂ 2 z 1 ∂z
+ 2 = 2+ 2 2+
∂x2 ∂y
∂r
r ∂θ
r ∂r

Resoluci´n:Vamos a calcular el lado izquierdo de la igualdad que queremos probar
o
y operando llegaremos al lado derecho.
Por la regla de la cadena (ya que z es funci´n de x e y, pero x e y son funciones deo
r y θ), tenemos que:
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
=
+
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
y
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂θ
∂x ∂θ ∂y ∂θ
Ahora, tenemos que derivar nuevamente estas expresiones respecto de r y θ. Para
∂z
ellorecordemos que ∂x es una funci´n de x e y y a su vez ´stas son funciones de r y θ.
o
e
As´ tenemos que
ı
∂
∂ 2z
=
2
∂r
∂r

∂z ∂x
∂x ∂r

+

∂
∂r

∂z ∂y
∂y ∂r

Usando la regla de laderivada del producto de dos funciones, tenemos que
∂ 2z
∂
=
2
∂r
∂r

∂z
∂x

∂x ∂z ∂ 2 x
∂
+
+
2
∂r ∂x ∂r
∂r

∂z
∂y

∂y ∂z ∂ 2 y
+
∂r ∂y ∂r2

Y nuevamente por la regla de lacadena,
∂ 2 z ∂x ∂x
∂ 2 z ∂y ∂x ∂z ∂ 2 x
∂ 2 z ∂x ∂y ∂ 2 z ∂y ∂y ∂z ∂ 2 y
∂ 2z
=
+
+
+
+
+
∂r2
∂x2 ∂r ∂r ∂y∂x ∂r ∂r ∂x ∂r2 ∂x∂y ∂r ∂r ∂y 2 ∂r ∂r ∂y ∂r2
Por otro lado sabemos que x = rcos(θ) e y = r sin(θ), as´
ı
∂x
∂r

= cos(θ);

∂2x
∂r2

= 0;

∂y
∂r

= sin(θ);

∂2y
∂r2

=0

Reemplazando en la ecuaci´n anterior, se obtiene
o
∂2z
∂r2

=

∂2z
∂x2

cos2(θ) +

∂2z
∂y∂x

=

∂z
.0
∂x

sin(θ) cos(θ) +

∂2z
∂x2

+

∂2z
∂x∂y

2

sin(θ) cos(θ) +

∂ z
cos2 (θ) + 2 ∂y∂x sin(θ) cos(θ) +

Mediante un procedimiento similar se calcula∂2z
∂θ2

∂2z
∂y 2

∂2z
∂y 2

sin2 (θ) +

sin2 (θ)

(ejercicio), resultando

∂z
.0
∂y

∂ 2z
= r2
∂θ2

∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
sin(θ) cos(θ) + 2 cos2 (θ) −r
sin2 (θ) − 2
∂x2∂y∂x
∂y

∂z
∂z
cos(θ) +
sin(θ)
∂x
∂y

Reemplazando en el lado izquierdo de la igualdad a probar, tenemos que
∂ 2z
+
∂r2

1
r2

∂ 2 z 1 ∂z
+
∂θ2 r ∂r

∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
2
=...