Regla de la cadena

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´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ CALCULO VECTORIAL REGLA DE LA CADENA Y DIFERENCIAL EXACTA Objetivos Utilizar las reglas de la cadena para funciones de varias variable. Hallar las derivadasparciales impl´ ıcitamente. Entender los conceptos de incrementos y diferenciales. Entender el concepto de diferenciabilidad a funciones de dos variables. Utilizar una diferencial como aproximaci´n. oUtilizar los conceptos de regla de la cadena y de diferencial para resolver problemas aplicados a la ingenier´ ıa.

TALLER 4 1. Sean W (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)), donde u(1, 0) = 2, us (1, 0) = −2,ut (1, 0) = 6, v(1, 0) = 3, vs (1, 0) = 5, vt (1, 0) = 4, Fu (2, 3) = −1, y Fv (2, 3) = 10. Encuentre Ws (1, 0) y Wt (1, 0). 2. Utilice la regla de la cadena para hallar las derivadas parcialesindicadas x = p + r + t, y = p − r + t, z = p + r − t. 3. a) Encuentre b) Encuentre
dy dx dx dx ∂u ∂u ∂u ∂p , ∂r , ∂t

para u =

x+y x+z ,

donde

= − ∂Fx para x cos y + y cos x = 1. ∂Fy = − ∂Fx yEncuentre ∂Fz
dz dy

= − ∂Fy para xyz = cos(x + y + z) z

∂F

4. La produccion de trigo W , en un ao dado, depende del promedio de temperatura T y la cantidad de lluvia a o anual R. Losexperteos estiman que el promedio de temperatura est´ subiendo a raz´n de 0,15o C/ao y la lluvia est´ decreciendo a raz´n de 0,1cm/ao. Tambi´n estiman que, a los niveles actules de producci´n, ∂W = −2 y a o eo ∂T ∂W = 8. ∂R a) ¿Qu´ significan los signos de estas derivadas parciales? e b) Estime la actual raz´n de cambio de la producci´n de trigo, o o 5.
dW dt .

a) El voltaje V de un circuito el´ctricosencillo est´ decreciendo lentamente a medida que se consume la bater´ e a ıa. La resistencia R est´ aumentando lentamente a medida que se calienta el resistor. Utilice la ley de Ohm, a V = IR, parahallar c´mo est´ cambiando la corriente I en el momento cuando R = 400Ω, I = 0,08A, o a dV = −0,01V /s, y dR = 0,03Ω/s. dt dt b) La presi´n de 1 mol de un gas ideal est´ aumentando a raz´n de 0,05kP...
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