regla de la multiplicacion

REGLA GENERAL Y PARTICULAR DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES

1) REGLA GENERAL PARA EVENTOS DEPENDIENTES

Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula empleando la siguiente regla:



En donde:
El conectivo “y” corresponde a la “intersección” en la teoría de conjuntos (y =)El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de conjuntos



Nota:
La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el evento A ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P (B/A).
Si se desea obtener una fórmula para calcular la probabilidad condicional se despeja de la fórmula general de la multiplicación,obteniéndose:



La probabilidad condicional de A dado B se denota por P(A/B) y se calcula empleando la siguiente fórmula:

Ejemplos ilustrativos

1) De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un As en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la carta extraída.

Solución:

Ay B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As es:


La probabilidad de que la segunda carta sea un As, dado que ya se sacó un As en la primera extracción, es:


Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes seobtiene:






2) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de corazón rojo en dos extracciones sin devolver la carta extraída.

Solución:

A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.

La probabilidad de que la primera carta seaun As es:


La probabilidad de que la segunda carta sea un Rey, dado que ya se sacó un As en la primera extracción es:


Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:








3) En una clase de 50 alumnos, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefierensolamente Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por

4.1) Matemática y Estadística.
4.2) Estadística y Matemática

Solución:
Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:


Simbología:
S = espacio muestral
A= Matemática
B = Estadística
a = SolamenteMatemática
b = Solamente Estadística
c = Matemática y Estadística
d = Ninguna de las dos asignaturas

Datos y cálculos:
a = 10
b = 15
c = S – a – b – d = 50 – 10 – 15 – 5 = 20
d = 5
S = 50

4.1) Matemática y Estadística.





Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:




O también, observando el diagrama de Venn-Euler se tiene directamente laprobabilidad solicitada:




Para aplicar la regla de la multiplicación para eventos dependientes, observando el diagrama de Venn-Euler se tiene:



La suposición de que el alumno seleccionado tenga preferencia por Matemática significa que sólo consideremos el conjunto A, de los 30 elementos de A, sólo 20 tienen preferencia por Estadística. Por lo tanto la probabilidad condicional P(B/A) = 20/30 =2/3

O también, observando el diagrama de Venn-Euler y aplicando la fórmula de la probabilidad condicional se tiene:


Reemplazando valores en la regla de la multiplicación para eventos dependientes se obtiene:






4.2) Estadística y Matemática.





Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:




O también observando el diagrama de Venn-Euler...