Regla de simpson

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Regla de Simpson 1/3
La segunda fórmula de Newton-Cotes es para una cuadrática integrada en dos intervalos que son de anchura uniforme:
I ≈ h . [f(x0) + 4f(x1) +f(x2)]
3
donde para este caso h = (b-a)/2. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 1/3 se expresa también como:
I ≈ (b-a) f(x0) + 4f(x1)+ f(x2).
6
donde a = x0, b = x2 y x1 = punto a la mitad del camino entre a y b, que esta dado por (b+a)/2.
Regla de Simpson 3/8
En una manera similar a la reglase Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse, la regla es:
donde h = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuaciónanterior, la regla de Simpson 3/8 puede expresarse también de la siguiente forma:
I ≈ (b-a) f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
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Ejemplo:
Use la regla de Simpson 1/3 y3/8 para integrar la siguiente función:
f(x) = 0.2 +25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5
Desde a = 0 hasta b = 0.8. La integral exacta es 1.640533.
- Por Simpson1/3
x0 = 0
x2 = 0.8
x1 = (0 + 0.8)/2 = 0.4
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.4) = 2.456
f(x2) = f(0.8) = 0.232
Sustituimos los valores en la ecuación:
I ≈ (b-a)f(x0) + 4f(x1) + f(x2).
6
I ≈ 0.8 0.2 + 4(2.456) + 0.232.
6
I ≈ 1.367467
- Por Simpson 3/8
Cada separación va a tener:
x = (0 + 0.8)/3 = 0.2667
x0 = 0
x1 =(0 + 0.2667) = 0.2667
x2 = (0.2667 + 0.2667) = 0.5333
x3 = 0.8
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.2667) = 1.432724
f(x2) = f(0.5333) = 3.487177
f(x3) = f(0.8) =0.232
Sustituimos los valores en la ecuación:
I ≈ (b-a) f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
8
I ≈ 0.8 0.2 + 3(1.432724) + 3(3.487177) + 0.232.
8
I ≈ 1.519170
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