regla de tres

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11
TALLER Nº 7 PROPORCIONALIDAD REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

RESEÑA HISTÓRICA:
BEREMIZ, el matemático del libro El hombre que Calculaba, decía que podía explicar con las
medidas del rostro de una mujer si era hermosa o no. Decía: puedo explicar esa relación curiosa
de un modo elemental y simple:
Dada una magnitud AB (en estecaso representada por un segmento de recta), podemos dividirlo
por la mitad, o en dos partes desiguales. La división en dos partes desiguales puede hacerse de
una infinidad de maneras diferentes. Entre estas divisiones de AB en partes desiguales, ¿habrá
alguna preferible a todas las otras?
Consideremos el segmento AB dividido en dos partes desiguales:

Admitamos que esas partes desigualesadmiten la siguiente relación:
“El segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la parte menor”. La proporción es
la siguiente:

Segmentototal Partemayor
=
Aproximadamente igual a 1.618
Partemayor
Partemenor
Esta notable división se llama división áurea o división en media y extrema razón.
En el rostro femenino considerado “matemáticamente Hermoso”, la línea C a la altura delos ojos
divide a la longitud total de AB, en media y extrema razón, siendo AB la longitud del rostro.
Hasta hoy no se consiguió descubrir la razón de ser o el porque de esa belleza. Los matemáticos
que llevaran hasta muy lejos sus estudios y observaciones, exponen varios y curiosos ejemplos
que constituyen elocuentes demostraciones para el principio de esa división, que los romanos
llamaban“divina proporción”.
El titulo en la primera página de una obra divide, en general, la medida total de la página en media
y extrema razón. Lo mismo sucede con la línea de los ojos, que divide, en las personas bien
proporcionadas, la medida total del rostro en media y extrema razón. Se observa también en las
partes en que las falanges dividen los dedos de la mano. La división en media y extremarazón se
puede hallar también en la música, el pintura, en la escultura y en la arquitectura.

TEORÍA
RAZON:
La razón entre dos cantidades a y b es el cociente indicado entre ellas y la representamos por:

a
b

Antes de comparar dos cantidades debemos expresarlas en la misma unidad de medida.
PROPORCION:
Una proporción es una igualdad de dos razones.
La proporción

a c
4 1
= se lee “aes a b como c es a d”, por ejemplo: = se lee “ 4 es a 8 como
b d
8 2

1 es a 2”.
a y d se llaman extremos de la proporción.
b y c se llaman medios de la proporción.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

a c
3 6
= ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c ; ejemplo: = ⇒ 3 ⋅ 4 = 2 ⋅ 6 .
b d
2 4
MAGNITUDESDIRECTAMENTE PROPORCIONALES:
Consideremos dos magnitudes A y B así:
A: Es el área en m2 de un piso para embaldosar.
B: Es el numero de obreros necesarios para embaldosar el piso en un día.
Si duplicamos el área del piso, se duplicará el número de obreros necesarios para embaldosarlo.
DEFINICON: Dos magnitudes se llaman DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, cuando están
relacionadas de un modo que alduplicar, triplicar etc., una de ellas, la otra también se duplica, se
triplica, etc. Por lo tanto en el ejemplo anterior A y B son magnitudes directamente proporcionales.
En el ejemplo: Si tenemos a1 m2 de piso para embaldosar y necesitamos b1 obreros y si a a2 m2 de
piso le corresponden b2 obreros para embaldosarlos, entonces se tiene la proporción:

a1 b1
=
a 2 b2
MAGNITUDESINVERSAMENTE PROPORCIONALES:
Un vehículo, con velocidad constante, recorre una distancia determinada en t horas, si duplicamos
la velocidad, recorrerá la misma distancia en la mitad del tiempo.
DEFINICION: Dos magnitudes se llaman INVERSMENTE PROPORCIONALES, si al multiplicar
una de ellas por n, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por n.
En el ejemplo anterior, si con una...