Regla de l'hôpital

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La regla de L'Hopital
Introducción
La regla de L'Hopital es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculoconteniendo su método, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.
Este método nos permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados anteriormente no era posible resolver.Así, al evaluar límites de la forma en algunos casos se podía aplicar el teorema para el límite de un cociente:
siempre que
Aún cuando y , a veces es posible determinar . Por ejemplo el que es dela forma puede escribirse como
Sin embargo, existen límites como en los que tanto el numerador como el denominador tienden a cero cuando tiende a 2, para los que no hemos dado ningún procedimientoque permita determinar su valor.
El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento adecuado para la evaluación de tal tipo de límites.
Teorema: Regla de L'Hôpital
Seanfunciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en cierto intervalo y tales que .
Entonces, si existe , también existirá y además
También, si entonces
Ejemplos:
Calculemos elutilizando el teorema anterior.
Observe que , por lo que se tiene la forma
Luego:

Nota: Si y las derivadas satisfacen las condiciones que se especificaron para las funciones y , según la hipótesis deel teorema de la Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L'Hôpital, obteniéndose que:

Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma .
APLICACIÓN DELA REGLA DE L'HÔPITAL  A OTRAS FORMAS INDETERMINADAS
La Regla de L'Hôpital también se aplica en los casos en que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:

Daremos a continuación,sin demostración, los teoremas que permiten evaluar tal tipo de límites.
 

Teorema
Sean funciones continuas y derivables para todos los valores en un intervalo abierto, excepto cuando.
Si...
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