Reglamentos

07-04-2011

Vigas Hiperestáticas

a

b

vigas hiperestáticas
ESTRUCTURAS 2
profesora: Verónica Veas

2
ayudante: Preeti Bellani

Concepto de vigas hiperestáticas por empotramiento

Ejemplo

Viga bi-empotrada con carga uniformemente repartida

Y máx

Ø empotramiento =0

1

07-04-2011

A

B

ØA = 0
qL3 M A L M BL 0=− + + 24EI 3EI 6EI
2 M A L + M BL qL3 = 6EI 24EIM A = MB = M E

3M EL qL3 = 6EI 24EI
ME = qL2 12

Ra = Rb =

qL 2

El momento máximo en una simétrica se encuentra en X=L/2
M (L / 2) = qL L q  L  −   − ME 2 2 22
2

viga

M(L / 2) =

qL2 qL2 qL2 − − 4 8 12

Mx =

qLx qx 2 − − ME 2 2

M MAX =

qL2 24

Y L/2 = 5qL4 384EI

Y L/2 = ML 2 16EI

Y L/2 = ML 2 16EI

2

07-04-2011

Y L/2 = ML 2 16EI

YL/2

2 2 = qL L 12 16EI

Y

L/2

=

qL4 192EI

YMAX =

5qL4 qL4 qL4 − − 384EI 192EI 192EI

YMAX =

qL4 384EI

Ejemplo

Viga bi-empotrada con carga puntual al centro

Y máx

3

07-04-2011

MA = PL 8

MB = PL 8

Ra = Rb =

P qL 2

ØA = 0
2 -PL + M A L + M B L 16EI 3EI 6EI 2

M A = MB = M E

0=

3 M EL = 6EI

PL 16EI

2

MA = PL 8

El momentomáximo en una simétrica se encuentra en X=L/2
M (L / 2) = - PL + P 8 2
L 2

viga

RA = P
2 ME = PL 8 MMAX = PL 8

2 M A L + M BL PL = 16EI 6EI

Mx = - PL + PX 8 2

Y L/2 = ML 2 16EI

Y

L/2

= PL 8

L2 16EI

Y

L/2

=

PL 3 128EI

Y L/2 = PL3 48EI

Y L/2 = ML 2 16EI

Y L/2 = ML 2 16EI

4

07-04-2011

Ejemplo

Viga empotrada-apoyada con carga uniformementerepartida

3 3 Y MAX = PL _ PL _ PL3 48EI 128EI 128EI

YMAX =

PL3 192EI

ØA = 0
- qL3 + MeL 0= 24 EI 3EI

MeL qL3 = 3 EI 24 EI

Me =

qL2 8

5

07-04-2011

Ra=

qL Me qL qL 5qL + = + = 2 L 2 8 8
qL Me − = 2 L qL qL − = 2 8 3qL 8

Mx =

5qLx qx2 − − Me 8 2
2 2 2 25 qL 25 qL qL − − 64 128 8

EI

d2 y dx2

=

5 qLx qL2 qx2 − − 8 8 2

Rb =

MMAX =

EI

dy 5qLx2 qL2 x qx 3 = − − + C1 dx 16 8 6
2 5 qLx3 qL x 2 qx4 − − + C1x + C2 48 16 24

EI. y =
V x= 0

MMAX =
5L 8

9 qL

2

128

Condiciones de apoyo Si X=0 Si X=0 ó X=L C1=0 C2=0

5qL − q. x = 0 8

X=

Vigas Hiperestáticas

Flecha máx en dy/dx=0

a
2 3

5 qLx qL x qx − − = 0 16 8 6
X = 0,58L
2 5 qL (0 , 58L )3 − qL (0 , 58L )2 − q (0 , 58L )4 48 EI 16EI 24 EI

2

Y=b
YMAX qL4 qL4 = = 0 , 005 185 EI EI

6

07-04-2011

Concepto de vigas hiperestáticas por empotramiento

a

Concepto de vigas hiperestáticas por continuidad

b

Ø empotramiento =0

φBizquierdo = - φBderecho
por ángulos opuestos por el vértice

Ejemplo

Viga de dos tramos con carga uniformemente repartida

φBizquierdo = - φBderecho

7

07-04-2011

A

RB =
B CM qL 5qL + B = 2 L 8 qL M B 3qL − = 2 L 8

RC =

Se igualan los valores de ángulos a ambos lados del apoyo B para determinar el momento de continuidad entre ambos tramos.

B

C

Σ φB Izquierdo =
3

_ Σφ B derecho
3

2 2 qL 5qLx qx Mx = − − 8 2 8

V x= 0

5qL 8 qL 2 8 5L/8

3qL 8

− qL + M BL = − _ qL + M BL 24EI 3EI 24EI 3EI
2 M BL qL3 = 3EI 12EI ... * EI L

5qL − q. x= 0 8
MMAX =

X=

5L 8

2 2 2 25 qL 25 qL qL − − 64 128 8

9qL 2 128

MB =

qL2 8EI

MMAX =

9 qL2 128

Teorema de los tres momentos o Clapeyron

D.C.L. Viga

Cortante

3qL 8

5qL 8 5qL 8 qL 2 8 3qL 8

5L/8 Momento

5L/8

9qL 2 128

9qL 2 128

8

07-04-2011

Ma= kgm

Mb= kgm

A

B

φA= qL3 24EI

φB= qL3 24EI

φA=MaL 3EI

φB=MaL 6EI

φA=MbL6EI

φB=MbL 3EI

Mb= kgm

Mc= kgm

B

C

ΣφB izquierdo= -ΣφB derecho Σ

φB= qL3 24EI

φC= qL3 24EI

φB=MbL 3EI

φC=MbL 6EI

φB=McL 6EI

φC=McL 3EI

ΣφB izquierdo= -ΣφB derecho
_ qL13 + MaL1 + MbL1 = _ _ qL23 + MbL2 + McL2 24EI 6EI 3EI 24EI 3EI 6EI MaL1 + MbL1 + MbL2 + McL2 = qL13 + qL23 6EI 3EI 3EI 6EI 24EI 24EI Reemplazando L/EI por λ (módulo de flexibilidad) Maλ1 +...