Reglas de derivacion

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CAPÍTULO

6
Reglas de derivación

1

OBJETIVOS PARTICULARES 1. Aplicar reglas básicas de derivación para calcular derivadas, de diverso orden, de funciones algebraicas. 2. Aplicar la regla de la cadena en el cálculo de derivadas, para funciones explícitamente definidas. 3. Aplicar el método de derivación implícita en el cálculo de derivadas, para funciones definidas implícitamente.

6.1Reglas básicas de derivación
Como se habrá notado en el capítulo anterior, para calcular la derivada de una función y D f .x/ mediante la definición, usando la denominada regla de los cuatro pasos, generalmente es necesario llevar a cabo un laborioso procedimiento algebraico. Para evitar tal complejidad, se opta por el uso o la aplicación de resultados o reglas básicas generales que nos permiten elcálculo de la derivada de diversas funciones de uso frecuente. Dichas reglas se demuestran a partir de la definición de la derivada a veces con el uso de algún artificio algebraico. A continuación enunciamos las reglas básicas de derivación, seguida cada una de su respectiva demostración. Regla 1. Si f .x/ D c, con c constante, entonces f 0 .x/ D
1

d d f .x/ D c D 0: dx dx

canek.azc.uam.mx:22/ 5/ 2008

1

2 Ejemplos de la regla 1: 1. Si f .x/ D 5, entonces f 0 .x/ D 0.

Cálculo Diferencial e Integral I

2. Si f .x/ D 125, entonces f 0 .x/ D 0.

3. Si f .x/ D k, con k constante, entonces f 0 .x/ D 0. H Demostración regla 1: Si para cada x 2 R se tiene f .x/ D c, entonces f 0 .x/ D lím f .x C h/ h!0 h f .x/ h ) f .x/ D 0: d Es decir, c D 0: dx
h!0 0

D lím

c

c

Dlím

0 D lím 0 D 0 ) h!0 h h!0

Regla 2. Si f .x/ D x n , con n 2 N , entonces f 0 .x/ D Ejemplos de la regla 2: 1. Si f .x/ D x 5 , entonces f 0 .x/ D 5x 4 . d n d f .x/ D x D nx n dx dx
1

:

2. Si f .x/ D x 100 , entonces f 0 .x/ D 100x 99 . H Demostración de la regla 2: f .x/ D x n ) f .x C h/ D .x C h/n : f .x C h/ f .x/ D .x C h/n x n D n.n 1/ n 2 2 x h C : : : C hn xn D D x n C nxn 1 h C 2 n.n 1/ n 2 2 n.n 1/.n 2/ n 3 3 D nx n 1 h C x h C x h C : : : C hn D 2 2.3/ n.n 1/ n 2 n.n 1/.n 2/ n 3 2 D h nx n 1 C x hC x h C : : : C hn 1 : 2 2.3/ f .x C h/ h D nx n 2
1

f .x/ C n.n 2

D 1/ xn 2 h C n.n 1/.n 2.3/ 2/ x n 3 h2 C : : : C hn
1

:

6.1 Reglas básicas de derivación f .x C h/ f .x/ D h!0 h n.n 1/.n n.n 1/ n 2 x .0/ C D nx n 1 C 2 2.3/ lím

3

2/

x n 3.0/2 C : : : C .0/n : :

1

:

f 0 .x/ D nx n d n Es decir, x D nx n dx

1 1

Nota: un caso particular de la regla 2 aparece para n D 1: d d 1 xD x D 1x 1 dx dx Es decir, d x D 1. dx
1

Más adelante veremos que esta regla se puede generalizar para el caso en que n 2 Q .

D x0 D 1 :

Observación: en lo que sigue trabajaremos con funciones que suponemos derivables. Regla 3. Si F .x/ Df .x/ C g.x/ F 0 .x/ D .x/, entonces

d d F .x/ D Œf .x/ C g.x/ .x// D dx dx d d d D f .x/ C g.x/ .x/ D f 0 .x/ C g 0 .x/ dx dx dx

0

.x/ :

Ejemplo de la regla 3: .x 5 C x 100 x/ 0 D .x 5 / 0 C .x 100 / 0 .x/ 0 D 5x 4 C 100x 99 1:

H Demostración de la regla 3: F .x/ D f .x/ C g.x/ F .x C h/ .x/ ) F .x C h/ D f .x C h/ C g.x C h/ .x C h/ : .x/ D .x/ : .x/

F .x/ D Œf .x C h/ C g.xC h/ .x C h/ Œf .x/ C g.x/ D Œf .x C h/ f .x/ C Œg.x C h/ g.x/ Œ .x C h/ F .x/ D f .x C h/ h f .x/ C g.x C h/ h g.x/ .x C h/ h

F .x C h/ h lím

:

F .x C h/ F .x/ D h!0 h f .x C h/ f .x/ g.x C h/ D lím C lím h!0 h!0 h h

g.x/

h!0

lím

.x C h/ h

.x/

: 3

4

Cálculo Diferencial e Integral I
0 F 0 .x/ D f 0 .x/ C g 0 .x/ .x/: d Es decir, Œf .x/ C g.x/ .x/ D f 0 .x/ Cg 0 .x/ dx

0

.x/ :

Esta regla se generaliza para el caso de tener la suma algebraica de más funciones. Regla 4. Si .x/ D f .x/g.x/, entonces Ejemplo de la regla 4: .x 5 C x/.x 100 1/
0 0

.x/ D f .x/g 0.x/ C g.x/f 0 .x/.

D .x 5 C x/ 100x 99 C .x 100

D .x 5 C x/.x 100

1/ 0 C .x 100

1/.5x 4 C 1/ :

1/.x 5 C x/ 0 D

H Demostración de la regla 4: .x/ D f .x/g.x/ ) .x C...
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