Regresion Lineal Multiple

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
Departamento de Estadística

REGRESION LINEAL MULTIPLE

Prof. Francisco Pradenas P.
2° Semestre de 2012
1

¿Qué es la REGRESION
LINEAL MULTIPLE?
Una herramienta estadística que permite explorar la
relación funcional entre una variable llamada variable
respuesta o variable dependiente,
dependiente, y un conjunto de dos o
másvariables llamadas variables predictoras o variables
independientes.
independientes

La relación se expresa a través de una función entre Y y
X1,X2,...,X
...,Xk, donde Y es la variable respuesta y X1,X2,...,X
...,Xk
son las variables predictoras.

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ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN ...
Calcular la altura de una arbusto según la
cantidad de fertilizante suministrado, humedad
del terreno
terreno, ycantidad de luz recibida.
Determinar si las ventas anuales de un
producto dependen del precio de venta y de los
gastos en publicidad
publicidad.
Decidir si el rendimiento académico de un
alumno tiene relación con su promedio de
enseñanza media, horas de estudio diario, Nº
de asignaturas tomadas y puntaje en la PSU
PSU.

3

Modelo de Regresión Lineal
Múltiple

donde β0,β1,...
...,,βk son llamadosparámetros del
modelo y se suponen desconocidos, y ε es una
variable aleatoria que resume los errores del
modelo.
El problema consiste en obtener los valores de
estos parámetros, tal que la relación entre Y y
X1,X2,...,X
...,Xk sea la “mejor” posible.
4

Modelo de Regresión Lineal
Múltiple
Si Yi denota la respuesta en el ensayo i y
xi1,xi2,...,x
...,xik son los respectivos datos muestrales
de lavariable predictora Xi, entonces el modelo
anterior puede escribirse en la forma:

5

Supuestos de un Modelo de
Regresión Lineal Múltiple

6

Supuestos de un Modelo de
Regresión Lineal Múltiple
De los supuestos anteriores, un modelo de
regresión lineal múltiple puede escribirse también
en la forma:

7

Estimación de los Parámetros
β0,β1,...,
,...,β
βk
Para estimar los parámetros β0,β1,...
...,,βksupondremos que se dispone de n k-uplas de
vectores muestrales (xi1,xi2,...,xik), tal que:

Es decir:

8

Estimación de los Parámetros
β0,β1,...,
,...,β
βk
Las n ecuaciones anteriores pueden escribirse
matricialmente en la forma:

9

Estimación de los Parámetros
β0,β1,...,
,...,β
βk
Los valores estimados de los parámetros
β0,β1,...
...,,βk se obtienen también mediante el
método de mínimoscuadrados,
cuadrados para lo cual se
debe resolver el problema:

Derivar:
10

Estimación de los Parámetros
β0,β1,...,
,...,β
βk

Modelo Ajustado

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EJEMPLO
En una investigación sobre la evolución del
crecimiento de un tipo de planta en viveros con
distintas condiciones de humedad ambiental,
cantidad de aditivos químicos y volumen de riego, se
midió la altura alcanzada por 15 plantas después de
uncierto período de desarrollo de la investigación.
Las variables de interés controladas fueron las
siguientes:

Y: altura de la planta, en centímetros
X1: humedad ambiental, en porcentaje
X2: aditivo químico suministrado, en kilogramos
X3: volumen de riego, en cm3
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Modelo a Ajustar
Y = β 0 + β 1X 1 + β 2X 2 + β 3X 3 + ε
SUPUESTOS

1. β0, β1, β2 y β3 son parámetros desconocidos
2. X1, X2 y X3 sonvariables mutuamente independientes
3.
4.
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Datos Muestrales

Y:

altura de la planta, en centímetros

X1: humedad ambiental, en porcentaje
X2: aditivo químico suministrado, en kilogramos
X3: volumen de riego, en cm3
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Salidas de Software
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple
Coeficiente de determinación R^2
R^2 ajustado
Error típico
Observaciones

0,9633202080,927985824
0,908345594
1,859215014
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ANÁLISIS DE VARIANZA
Regresión
Residuos
Total

Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
F
Valor crítico de F
3
489,9765148
163,3255049 47,2492342
1,42138E-06
11
38,02348515
3,456680468
14
528

15

Salidas de Software
Intercepción
Variable X 1
Variable X 2
Variable X 3

Coeficientes
25,7263924
0,343236396
2,04827949
0,007089785

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