Regresion Simple No Lineal Ok

´ SIMPLE
MODELO DE REGRESION
Juli´
an de la Horra
Departamento de Matem´
aticas U.A.M.

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Introducci´
on

Los modelos de regresi´on sirven, en general, para tratar de expresar una variable respuesta (num´erica) en funci´on de una o m´as variables explicativas (tambi´en
num´ericas). En este tema, vamos a abordar el modelo m´as sencillo: el modelo de regresi´on simple en el que consideramos una u´nica variable explicativa. Este modelo es
especialmente interesante por motivos pedag´ogicos, ya que permite abordar muchos
de los aspectos interesantes de la regresi´on con una notaci´on y una metodolog´ıa relativamente sencillas. En concreto, dedicaremos la mayor parte del tiempo al modelo
de regresi´on lineal simple.
Ejemplos
Podemos estar interesados en expresar el peso de las personas enfunci´on de su
estatura.
Podemos estar interesados en expresar el peso de los ejemplares de cierta especie
de aves en funci´on de su envergadura.
Podemos estar interesados en expresar el nivel de cierto contaminante en funci´on
de la densidad industrial.

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Modelo. Hip´
otesis del modelo

Disponemos de los siguientes elementos para el estudio estad´ıstico:
En primer lugar, una variable respuesta (odependiente), Y , que ser´a una variable
num´erica (o cuantitativa): es la variable que se quiere analizar. Formalmente, ser´a
una variable aleatoria de tipo continuo.
En segundo lugar, una variable explicativa (o independiente), X, que ser´a una
variable num´erica (o cuantitativa). Recu´erdese que los factores en el modelo de
dise˜
no de experimentos eran siempre variables cualitativas.
En tercerlugar, necesitamos datos. Supondremos que disponemos de n pares de
datos:
(x1 , y1 )..., (xi , yi ), ..., (xn , yn )
Obs´ervese que aqu´ı es absolutamente necesario que los datos vayan emparejados,
es decir, que (xi , yi ) representa los valores de X e Y en el i-´esimo individuo o unidad
muestral.
El modelo de regresi´on lineal simple es de la siguiente forma:
Yi = β0 + β1 xi + ui

para i = 1,..., n

Significado de los par´ametros:
β0 = Valor medio de la variable respuesta cuando X = 0.
Muy a menudo, el par´ametro β0 no tiene una interpretaci´on intuitiva de inter´es.

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β1 = Mide la variaci´on media que experimenta la variable respuesta cuando X
aumenta una unidad.
La interpretaci´on intuitiva de β1 siempre es muy interesante.
ui = T´ermino de error = Efecto adicional debido a otrasvariables que no se
incluyen en el modelo por no ser consideradas relevantes.
Para poder obtener y utilizar herramientas estad´ısticas que nos permitan tomar
decisiones objetivas y razonadas, necesitamos que el modelo se ajuste a unas determinadas hip´otesis. Estas hip´otesis iniciales del modelo son las siguientes:
Normalidad: Las observaciones Yi siguen una distribuci´on Normal,
Linealidad: Losvalores medios de la variable respuesta dependen linealmente del
valor de X: E[Yi ] = β0 + β1 xi ,
Homogeneidad o igualdad de varianzas (homocedasticidad): V (Yi ) = σ 2 ,
Las observaciones son independientes.
Todas estas hip´otesis se pueden expresar abreviadamente de la siguiente forma:
Yi ∼ N (β0 + β1 xi ; σ 2 ) independientes.
Es importante que estas hip´otesis iniciales del modelo se cumplan(aproximadamente) para que las conclusiones que obtengamos no sean una barbaridad.
Llegados a este punto, se puede abordar la cuesti´on de si tenemos suficientes
datos (suficiente informaci´on muestral) para abordar el an´alisis estad´ıstico de este
modelo. La regla b´asica para responder a esto es muy f´acil de recordar (y de entender): en general, necesitaremos al menos tantos datos comopar´ametros queremos
estimar en el modelo. En este modelo, tenemos:
N´
umero de datos= n
N´
umero de par´ametros= 3
Por lo tanto, necesitamos, al menos, n = 3 pares de datos.

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Metodolog´ıa

La metodolog´ıa o plan de trabajo que seguiremos en el an´alisis estad´ıstico de un
modelo de regresi´on simple es el siguiente:
(1) Diagnosis de las hip´otesis del modelo.
Se llevar´a a cabo mediante un an´alisis...