Regresiones

Unidad III
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE y MÚLTIPLE.

La regresión lineal nos permite hacer inferencia con variables bidimensionales de una población, es decir variables conjuntas. Por ejemplo, supóngase que se desea saber si es posible predecir la cantidad de horas de mano de obra requerida para procesar ciertas órdenes de trabajo, para poder llevar un mejor control y planeación de la producción,entonces primero se verifica si existe correlación entre estas variables; en caso positivo, se procede a estimar un modelo que involucre a las variables, es decir usar un modelo de regresión lineal simple, el cual recibe este nombre porque se usa sólo una variable para predecir a otra.

En este caso se estudiará la forma de hacer inferencia sobre la correlación de una población a partir de losdatos de una muestra y el concepto de modelo probabilístico para predecir una variable en función de otra independiente, cuando existe correlación entre éstas. El modelo probabilístico a considerar, es simple de tipo lineal, también se estudiará la estimación e inferencia sobre los parámetros. Básicamente se estudiará la correlación entre dos variables, regresión lineal simple, estimación delmodelo, su evaluación de la aptitud, predicción y adecuación.

1.
2.
3.
Correlación.

La correlación entre dos variables es el grado de fuerza con que dos variables están asociadas y es medido por el coeficiente de correlación del momento del producto de Pearson y definido por el cociente de la covarianza entre la raíz cuadrada del producto de la varianza de éstas, a continuación sepresenta la definición:

* Definición: Sean X y Y variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conjunta f (x, y), entonces el coeficiente de correlación, denotado por , está definido por:
, para V(X) y V(Y) > 0,
donde: Cov(X, Y) es la covarianza de X y Y.
V(X) y V(Y), son las varianzas de X y Y, respectivamente.

Es importante enfatizar que en la fórmula delcoeficiente de correlación, el denominador utiliza la raíz cuadrada positiva del producto de las varianzas y los rangos de valores para , está entre –1 y 1. Cuando el valor absoluto de es igual a uno, esto significa que existe una correlación perfecta, los valores cercanos a uno significan buena correlación, mientras que los valores cercanos al cero significan una correlación débil y valores iguales acero, significan una correlación nula. Las siguientes gráficas muestran la dispersión de los datos para diferentes valores de .

Y
X
Y
X
x

Figura 3.1 Relación Lineal Buena entre Dos Variables | Figura 3.2 Relación Cuadrática Buena o Curvilínea entre Dos Variables |
Es importante enfatizar que es el coeficiente de correlación lineal, éste únicamente mide la relación lineal de dosvariables, lo cual no significa que pueda haber una buena relación cuadrática, cúbica, etc., entre dos variables como las que representan las figuras 3.2, 3.6 y 3.7.

Y
X
Y
X
x
y

y

Figura 3.3 Relación Excelente entre Dos Variables. | Figura 3.4 Relación Nula entre Dos Variables. |
x

Y
X
Y
X
x
y

Figura 3.5 Relación Lineal Regular entre Dos Variables. | Figura 3.6 RelaciónCurvilínea Excelente entre Dos Variables. |

Y
X
x
y
x

Figura 3.7 Relación Curvilínea Regular entre Dos Variables.

El coeficiente de correlación , es un parámetro y al igual que los demás, éste tiene estimadores, basados en estadísticos muestrales, para este caso el estimador está denotado por r y se estima con los estimadores de la varianzas y covarianza muestrales, el cual queda de lasiguiente forma:

,
Sustituyendo las estimaciones se obtiene que r es igual a:
,
donde:

SSxy=i=1nxiyi-i=1nxii=1nyin=i=1nyixi-x=i=1n(yi-y)xi-xn

SSx=i=1nxi2-i=1nxi2n=i=1n(xi-x)2

SSy=i=1nyi2-i=1nyi2n=i=1n(yi-y)2

Al igual que otros estimadores, el coeficiente de correlación muestral está involucrado en un estadístico con una distribución en forma de t de student, es decir:
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