Regresión lineal y correlación múltiple.

Ingeniería en Sistemas Productivos

Tema:
REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE.

Noviembre 2010

2.3 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE.
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε.
En general. Suponga que una sola variabledependiente, o de respuesta y que se relaciona con k variables independientes o regresivas, digamos x1, x2, …, xk son variables aleatorias distribuidas conjuntamente, por ejemplo, en el caso en que los datos se recaban como mediciones diferentes en una unidad experimental común. La relación de estas variables se caracteriza por medio de un modelo matemático llamado ecuación de regresión. De modo as precisohablamos de una regresión de y en x1, x2,…, xk. Este modelo de regresión se ajusta a un conjunto de datos.
La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805, y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.
El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas:al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.[ La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificaciónteórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.
pero bien como se ha dicho podemos usar el terminolineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación
2.3.1. Regresión Lineal Simple.
Se desea determinar la relación entre una variable regresiva x y una variable de respuesta y. La variable regresiva x se supone como una variable matemática continua, controlada por el investigador. Suponga que la verdadera relación entre x y y es una línea recta, y que la observación y en cadanivel de x es una variable aleatoria. Ahora bien, el valor esperado de y para cada valor de x es

E(y│x) = β0 + β1x
Donde la ordenada al origen β0 y la pendiente β1 son pendientes desconocidas. Supongamos que cada observación y puede describirse como el modelo :

Y = β0 + β1x + ε
Donde ε es un error aleatorio con medio cero y varianza σ2. Los {ε} se supone también que son variablesaleatorias no relacionadas. Este modelo de regresión involucra solo una variable regresiva x, a menudo recibe el nombre de modelo regresión lineal simple. Suponga que tenemos n pares de observaciones, por ejemplo (y1, x1), (y2, x2),…, (xn, yn) estos datos pueden emplearse para estimar los parámetros desconocidos β0 y β1 en la ecuación. Nuestro procedimiento de estimación será el modelo de mínimoscuadrados. Esto es, estimaremos β0 y β1 de manera que la suma de cuadrados de las desviaciones entre las observaciones y la línea de regresión sean mínimas. Podemos escribir:
yi = β0 + β1xi + ϵi i = 1, 2,...., n

El análisis de regresión múltiple se utiliza ampliamente y con mucha frecuencia se abusa de él. Hay varios abusos comunes de la regresión que es necesario mencionar. Debe tenersecuidado al seleccionar las variables con las que se construyen los modelos de regresión, y al determinar la forma de la función de aproximación. Es muy posible desarrollar relaciones estadísticas entre variables que no tiene relación alguna en el sentido práctico. Por ejemplo, alguien podría tratar de relacionar la resistencia al corte de unos puntos de soldadura con el número de cajas de...