Regularidades aritmeticas

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ALGUNAS SUMAS EN LA TABLA
´ PITAGORICA DE MULTIPLICAR
Haydee Jim´nez Tafur e
Estudiante Universidad Pedag´gica Nacional o Bogot´ D.C, Colombia a

Diana Dom´ ınguez Pati˜o n
Estudiante Universidad Pedag´gica Nacional o Bogot´ D.C, Colombia a

jimenezhaydee@gmail.com

anaidlucia@gmail.com

Carlos Julio Luque Arias
Profesor Universidad Pedag´gica Nacional o Bogot´ D.C, Colombia acaluque@uni.pedagogica.edu.co
Resumen Presentamos algunos resultados obtenidos con ni˜os entre 11 y 16 a˜os que asistieron n n al Club de Matem´ticas de la Universidad Pedag´gica Nacional en el I semestre a o de 2006. La actividad con los ni˜os inicia con la tabla pitag´rica de multiplicar, n o proponi´ndoles que realicemos algunas sumas en ella. Sumamos filas, diagonales y e gnomones, y con elloobtenemos la suma de los primeros n n´meros naturales, pares, u impares, triangulares, cuadrados y c´bicos. u

1.

La tabla pitag´rica o

Ubiquemos las tablas de multiplicar correspondientes a cada n´mero natural, en una sola u tabla que llamaremos la tabla pitag´rica. o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 ... 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 ... 4 8 12 16 20 24 28 3226 40 44 48 ... 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 ... 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 ... 7 8 14 16 21 24 28 32 35 40 42 48 49 56 56 64 63 72 70 80 77 88 84 96 ... ... Tabla 1 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 ... 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 ... 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 ... 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......

e ıa Memorias XVII encuentro de geometr´ y V de aritm´tica

2.

Suma de filas

Iniciemos nuestra actividad sumando los n´meros por filas; primero sumemos los primeros u 2 n´meros de la fila 1, los primeros 3 n´meros, los primeros 5, los primeros 10 y as´ suceu u ı sivamente, como en la siguiente lista: 1+2=3 1+2+3=6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 con unos pocos casos nos damos cuenta de que debemos buscar una forma que sirva para todos los casos. u ¿Hay alguna manera de sumar los primeros 500 n´meros naturales sin hacer todos los c´lculos? a 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + 500 = ? Un m´todoconsiste en colocar en una fila los n´meros naturales y en una segunda fila e u escribir la misma suma pero con los sumandos en el orden opuesto y sumar de la siguiente manera: 1 500 501 + 2 + 499 + 501 + + + 3 498 501 + + + 4 497 501 + + + ··· ··· ··· + + + 500 1 501

Notamos que en todos los casos la suma es la misma, y ´sta se repite 500 veces, es decir, e la suma total es (500)(501); pero como serealiza una doble suma, hay que dividir el resultado entre dos, con lo que obtenemos que: (500)(501) 2 Observamos que ´ste procedimiento se puede emplear para hallar la suma de los primeros e n n´meros naturales, sin importar que tan grande sea n, o sea: u 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + 500 = 1 n n+1 44 + + + 2 n−1 n+1 + + + 3 n−2 n+1 + + + 4 n−3 n+1 + + + ··· ··· ··· + n + 1 + n+1

´ Algunassumas en la tabla pitagorica de multiplicar

Entonces, 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n = n(n + 1) 2

Los n´meros que obtenemos al realizar estas sumas parciales para cada n´mero natural u u n, se conocen como n´meros triangulares, debido a la disposici´n geom´trica que de ellos u o e hac´ los pitag´ricos ıan o

Figura 1 Los primeros de ellos son: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, . . .Localicemos ahora los n´meros triangulares en la tabla 1, marc´ndolos1 con negrilla y u a observemos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 ... 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 ... 4 8 12 16 20 24 28 32 26 40 44 48 ... 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 ... 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 ... 7 8 14 16 21 24 28 32 35 40 42 48 49 56 56 64 63 72 70 80 77 88 84 96 ... ......
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