Relacion inversa

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LA INVERSA DE UNA FUNCION

Antes de definir lo que es la inversa de una función necesitamos conocer qué es una función uno a uno (función inyectiva).


Definición: Una función es uno a uno(función inyectiva) si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada y, y diferentes coordenadas x.


Ejemplos para discusión: Determina en cada caso si f representa una función, ysi es función uno a uno.

1) g = {(0,3), (0,5), (4,7)}
2) h = {(0,3), (2,3), (7,4)}
3) k = {(0,3), (2,5), (4,8)}
4) f(x) = x2


Teorema: Funciones uno a uno

1) Si f(a) = f(b)para al menos un par ordenado de valores del dominio a y b, para a diferente de b , entonces f no es una función uno a uno.

2) Si la suposición f(a) = f(b) implica siempre que el dominio de losvalores a y b son iguales, entonces f es una función uno a uno.

Ejemplos para discusión: Determina si f es uno a uno.

1) f(x) = 2x - 1
2) f(x) = 4 - x2

Ejercicio de práctica:Determina si f(x) = 4 - 2x es uno a uno.


Existe un procedimiento gráfico para determinar si una función es uno a uno. Si una recta horizontal interseca la gráfica de una función en más de unpunto, entonces la función no es uno a uno. Si por el contrario, si cada recta horizontal interseca la gráfica en un punto o si no lo hace, entonces la función es uno a uno.


Teorema: Prueba dela recta horizontal

Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal interseca la gráfica de la función en a lo más un punto.
Ejemplos:

1)


f(x) = x2 no pasa la pruebade la recta horizontal, f no es uno a uno, pues la recta horizontal interseca la gráfica en más de un punto.

2)


f(x) = 2x + 4 pasa la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno. Larecta horizontal interseca la gráfica en un punto.


Teorema: Si una función f es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su dominio, entonces f es una función uno a uno.

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