Relaciones matematicas para computadora

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INDICE

Introducción ------------------------------------------------------------- 3

Definición de relaciones ----------------------------------------------- 4

Notación (simbólica) --------------------------------------------------- 7

Relaciones Binarias --------------------------------------------------- 9

Matriz de pertenencia------------------------------------------------- 10

Relación de pertenencia --------------------------------------------- 14

Relación reflexiva ------------------------------------------------------- 15

Relación simétrica ------------------------------------------------------ 16

Relación transitiva ------------------------------------------------------- 17

Grafo dirigido-------------------------------------------------------------- 18

Conclusión ----------------------------------------------------------------- 19

Bibliografía ---------------------------------------------------------------- 20

Introducción

La información que se encuentra en esta investigación sobre relaciones trata sobre cómo se pueden relacionar dos conjuntos ya sea A y B o como las queramos llamar además que elgrafo dirigido nos servirá para ver cómo se va a ir resolviendo un problema dado.

Una relación

Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.
Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0Ì A x B y A x B Ì A x B.
Si (x, y) Î R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".

Ejemplo 1:

Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.
R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7}
     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3,2), (3, 4), (5, 2)}.
R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.
R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.
R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.
R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0.

Dominio de una Relación.

Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primerascomponentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}

En consecuencia,
x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).
x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).

Rango de una Relación.

Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:
g (R)= { y / ($ x) (x, y) Î R}
En consecuencia,
y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).
y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).

Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:
D(R1) = {3, 1, 5} g (R1) = {2, 8, 4}
D(R2) = {3} g (R2) = {8}
D(R3) = {3, 5} g (R3) = {2, 4}
D(R4) = {3, 1, 5} g (R4) = {2, 4, 6}
D(R5) = {3, 1} g (R5) = {5, 3}
D(R6) = {2, 6} g (R6) = {3, 1}.

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) /x Î RÙy Î RÙy < x}.
El siguiente gráfico es una representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.
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Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:
"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.
              D(R) = {1, 2}, g (R) = {2, 3}.

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Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí ysólo sí D(R) Ì A y g (R) Ì B.

Notación simbólica

Existen muchas formas para representar los esquemas de permisos Unix. La forma más común es la notación simbólica. Este esquema permite representar permisos en una serie de 10 caracteres.
|Primer carácter |
|- |archivo regular...